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Berechnen Sie mit der Regel von de l'Hospital:

(a) `lim_(x to 0)\ sin(6 x)/(tan(5 x)) = `  

(b) `lim_({::}_(\ x>0\ )^(x to 0))\ ln(sin(3 x))/(ln(sin(7 x))) = `  

(c) `lim_({::}_(\ x>0\ )^(x to 0))\ x\ *\ ln(1 + 1/(2x)) = `  

(d) `lim_(x to oo)\ x\ *\ ln(1 + 1/(2x)) = `  

(e) `lim_(x to oo)\ ln(x)/x = `  


Prüfen Sie, ob in den folgenden Fällen die Voraussetzungen der Regel von de l'Hospital erfüllt sind. Falls sie erfüllt sind, so bestimmen Sie die betreffenden Grenzwerte. Falls sie nicht erfüllt sind, so geben Sie `DNE` in das Antwortfeld ein.

(a) `\ (e^x - 1)/(sin(x))\ ` für `\ x to 0`

Die Voraussetzungen für die Regel von de l'Hospital sind
`lim_(x to 0)\ (e^x - 1)/(sin(x))\ = `  


(b) `\ (e^x - e^(-x))/(sin(x) * cos(x))\ ` für `\ x to 0`

Die Voraussetzungen für die Regel von de l'Hospital sind
`lim_(x to 0)\ (e^x - e^(-x))/(sin(x) * cos(x)) = `  


(c) `\ ln(x)/ln(sin(x))\ ` für `\ x to 0\ ,\ x > 0`

Die Voraussetzungen für die Regel von de l'Hospital sind
`lim_({::}_(\ x>0\ )^(x to 0))\ ln(x)/ln(sin(x)) = `  



Berechnen Sie mit der Regel von de l'Hospital die folgenden Grenzwerte.

(a) `lim_(x to 0)\ (tan(x) - x)/(x - sin(x))\ = `  


(b) `lim_(x to 0)\ (e^x - e^(-x) - 2x)/(x - sin(x)) = `  


(c) `lim_(x to -1)\ (root3(1 + 2x) + 1)/(sqrt(2 + x) + x) = `  


(d) `lim_({::}_(\ x>0\ )^(x to 0))\ (2^x - 1)^(sin(x)) = `  



Mit Hilfe der Regel von de l'Hospital berechne man:


(a) `lim_({::}_(\ x>0\ )^(x to 0))\ (sin(x))^x = `  

(b) Für `ln(a)\ !=\ 1/a` ist
`lim_(x to 0)\ (a^x - a^(-x))/(1 - x - log_a(a - x)) = `  

(c) `lim_(x to 0)\ ((a^x + b^x)/2)^(1/x) = `  

(d) `lim_(x to (pi/2))\ (1 - sin(x)) * tan(x) = `  

(e) Für `a\ >\ 0` ist
`lim_({::}_(\ x < a\ )^(x to a))\ (arcsin(sqrt((a^2 - x^2)/a)))/(sqrt(a^2 - x^2)) = `  

(f) `lim_(x to (pi/2))\ (sin(x))^tan(x) = `  



`a < b` und `b a`