1 Reelle Matrizen

1.1 Einstieg: Lineare Gleichungssysteme

1.1.1 gängige Methoden

In diesem Kapitel werden die Methoden

Gaußsches Verfahren
Gauß-Jordan-Verfahren
Cramer’sche Regel

zur Lösung von Gleichungssystemen einschließlich der Hintergründe behandelt.

1.1.2 Einige Beispiele zum Einstieg

Beispiel 1 - 1:
In der Klasse 7c sind 31 Schüler. Die Zahl der Mädchen ist um 3 kleiner als die Zahl der Jungen. Wie viele Jungen und Mädchen sind in der Klasse ?

$M$ : Mädchen		$J$ : Jungen
$M + J$	$=$	$31$
$M + 3$	$=$	$J$

Beispiel 1 - 2:
Drei Zahnräder eines Getriebes haben zusammen 80 Zähne. Bei 10 Umdrehungen des ersten Rades drehen sich das zweite 18 und das dritte 45 mal. Wie viel Zähne hat jedes Rad ?

$A + B + C$	$=$	$80$
$\frac{A}{18}$	$=$	$\frac{B}{10}$
$\frac{A}{45}$	$=$	$\frac{C}{10}$

Beispiel 1 - 3: Balken in einem Lager
Ein Balken (Länge $k$ ) wird in einem festen Lager links eingespannt und rechts von einem Seil in einem Winkel von 45 o gehalten. Eine Kraft F wirkt unter dem Winkel $α$ auf die Mitte des Balkens.

Abbildung 1: Eingespannter Balken

Fragestellung der Technischen Mechanik ist bei diesem Beispiel die Bestimmung der Kräfte $F_{A}, F_{B}$ und des Moments $M_{A}$ in Abhängigkeit vom Winkel $α$ der angreifenden Kraft F (’Drehachse’ links): .

Abbildung 2: Kräfte an einem Balken

.
$\begin{matrix} x - R i c h t u n g : & 0 \cdot F_{A} & + & \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot F_{B} & + & 0 \cdot M_{A} & = & F \cdot cos α \\ y - R i c h t u n g : & F_{A} & + & \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot F_{B} & + & 0 \cdot M_{A} & = & F \cdot sin α \\ D r e h m o m e n t M : & 0 \cdot F_{A} & + & \frac{k}{\sqrt{2}} \cdot F_{B} & + & M_{A} & = & \frac{k}{2} \cdot F \cdot sin α \end{matrix}$ .
.
$\Rightarrow$ 3 Gleichungen, 3 Unbekannte .

Beispiel 1 - 4: Verschnittkreuz
Gegeben sind die zwei (zu bestimmenden) Mengen $x_{1}$ und $x_{2}$ eines Weins mit dem Säuregehalt $G_{1} = 3, 8 g ∕ l$ und $G_{2} = 9 g ∕ l$ , die zusammengemischt werden sollen zu einer (evtl. unbekannten) Gesamtmenge $M$ und einem Gesamtsäuregehalt $G = 6 g ∕ l$ .
Die Gleichungen dieses Systems lauten dann:

$x_{1}$	+	$x_{2}$	=	$M$
$G_{1} \cdot x_{1}$	+	$G_{2} \cdot x_{2}$	=	$G \cdot M$

Nun multipliziert man die erste Gleichung mit

G_{2}

$G_{2} \cdot x_{1}$	+	$G_{2} \cdot x_{2}$	=	$G_{2} \cdot M$
$G_{1} \cdot x_{1}$	+	$G_{2} \cdot x_{2}$	=	$G \cdot M$

Subtraktion der zweiten von der ersten Zeile ergibt:.

$(G_{2} - G_{1}) \cdot x_{1}$	+		=	$(G_{2} - G) \cdot M$

und damit

x_{1} = (G_{2} - G) \cdot \frac{M}{G_{2} - G_{1}}

oder $x_{1} \propto G_{2} - G$
Die gleichen Schritte werden nach der Multiplikation der ersten Gleichung mit $G_{1}$ analog durchgeführt:

$G_{1} \cdot x_{1}$	+	$G_{1} \cdot x_{2}$	=	$G_{1} \cdot M$
$G_{1} \cdot x_{1}$	+	$G_{2} \cdot x_{2}$	=	$G \cdot M$

Subtraktion der zweiten von der ersten Zeile ergibt:.

	+	$(G_{2} - G_{1}) \cdot x_{2}$	=	$(G - G_{1}) \cdot M$

und damit

x_{2} = (G - G_{1}) \cdot \frac{M}{G_{2} - G_{1}}

oder

x_{2} \propto G - G_{1}

.
Kennt man die gesuchte Gesamtmenge nicht, kann man für das Verhältnis von

x_{1}

x_{2}

angeben:

\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{G_{2} - G}{G - G_{1}} = \frac{(9.0 - 6.0) g ∕ l}{(6.0 - 3.8) g ∕ l} = \frac{3.0}{2.2} \approx 1.36

Zum besseren Behalten dieser Gleichungen werden die Werte in einem (Verschnitt-)Kreuz aufgetragen:


$G_{1}$		$x_{1} \propto (G_{2} - G)$
	$G$
$G_{2}$		$x_{2} \propto (G - G_{1})$

.
.
Mit Zahlen: .
.



$3.8$		$3.0$
	$6.0$
$9.0$		$2.2$

.
.
Hat man nun eine vorgegebene Menge

x_{1} = 630 l

, so kann man die Menge des Weins

x_{2}

einfach bestimmen zu:

\frac{630}{x_{2}} = \frac{3.0}{2.2}

und

x_{2} = \frac{630 \cdot 2.2}{3.0} l = 462 l

.
Lösung des Beispiels mit Maple:
restart; eq1 := x1+x2 = M;
eq2 := 3.8*x1+9*x2 = 6.0*M;
solve({eq1, eq2}, {x1, x2,M}) ergibt:
x1 + x2 = M
3.8 x1 + 9 x2 = 6.0 M
{M = 2.363636364*x2, x1 = 1.363636364*x2, x2 = x2}.
Also: $x_{2}$ ist frei wählbar, daraus ergibt sich $x_{1}$ und daraus wiederum die Gesamtmenge.

Beispiel 1 - 5 mt9001
.

Beispiel 1 - 6 mt9002
.

Die Systematik von linearen Gleichungssytemen kann diese Ergebnisse erklären.

1.1.3 Lösen von Gleichungssystemen über äquivalente Umformungen

Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystem s $A \vec{x} = \vec{c}$ bleibt bei Anwendung der folgenden Operationen unverändert erhalten (Äquivalente Umformungen eines linearen Gleichungssystems):

1.: Zwei Zeilen können miteinander vertauscht werden.
2.: Jede Gleichung kann mit einer von Null verschiedenen Zahl multipliziert werden.
3.: Zu jeder Gleichung darf ein Vielfaches einer anderen Gleichung addiert werden.

.
Beispiel 1 - 7 mt9003 .
.
.

$\to$ Gauß’scher Algorithmus : Bringe das Gleichungssystem durch geeignete äquivalente Umformungen in Dreiecksform. Die letzte Zeile enthält die Lösung für eine Variable. Diese Lösung wird in der zweitletzten Zeile zur Bestimmung der zweiten Variablen verwendet usw.
Eine gebräuchliche Darstellungsform des Gleichungssystems ist die Matrixform

1.1.4 Übungen

1.1.5 Definition einer reellen Matrix

Matrix :	rechteckiges Schema mit
	$m$ Zeilen
	$n$ Spalten
$a_{i k}$ :	Matrixelemente

A= $(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & … & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & … & a_{m n} \end{matrix})$
.

i wird als Zeilenindex
k wird als Spaltenindex bezeichnet.

Schreibweisen:

A, A_{(m, n)}, a_{i k}, {(a_{i k})}_{m, n}

Sonderfälle:

$m = n$ : n-reihige quadratische Matrix oder auch Matrix n-ter Ordnung .
Nullmatrix $0$ : Matrix, deren Elemente sämtlich verschwinden .

Spaltenmatrix:

$(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix})$
.

Zeilenmatrix:

$(\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & … & a_{n} \end{matrix})$ .

1.1.6 Transponierte einer Matrix

Vertauschen von Zeilen und Spalten ergibt die Transponierte einer Matrix : $a_{i k}^{T} = a_{k i}$ .
Beispiel:

$A = (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \\ 0 & - 8 \end{matrix}) \Rightarrow A^{T} = (\begin{matrix} 1 & 4 & 0 \\ 3 & 2 & - 8 \end{matrix})$ .
.
Beispiel 1 - 8 .
.

$(\begin{matrix} ⋆ & ⋆ & ⋆ \\ ⋆ & ⋆ & ⋆ \\ ⋆ & ⋆ & ⋆ \\ ↗ & ↖ \end{matrix})$
.
.
$↗$ = Nebendiagonale
$↖$ = Hauptdiagonale

1.1.7 Gleichheit von Matrizen

Zwei Matrizen $A, B$ sind gleich, wenn
$a_{i k} = b_{i k}$ für alle $i, k$ ,
also wenn alle ihre Elemente gleich sind.

1.2 Spezielle quadratische Matrizen

1.2.1 Diagonalmatrix

$a_{i k} = 0$ für $i \neq k$

$(\begin{matrix} a_{11} & 0 & 0 & … & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & a_{n n} \end{matrix})$
.

Sind alle $a_{i i} = 1$ , so nennt man diese Matrix Einheitsmatrix

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = E$ .

1.2.2 Dreiecksmatrix

alle Elemente oberhalb oder unterhalb der Hauptdiagonalen verschwinden

Untere Dreiecksmatrix: $a_{i k} = 0$ für $k > i$
Obere Dreiecksmatrix: $a_{i k} = 0$ für $k < i$

Beispiel 1 - 9: Untere Dreieicksmatrix:

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 5 \end{matrix})$
.

1.2.3 Symmetrische Matrix

$a_{i k} = a_{k i}$ $A^{T} = A$ .
Beispiel:

$(\begin{matrix} 1 & 4 & - 2 \\ 4 & 5 & 0 \\ - 2 & 0 & 8 \end{matrix})$ .

1.2.4 Schiefsymmetrische Matrix

$a_{i k} = - a_{k i}$ $\Rightarrow a_{i i} = 0$ .
Beispiel: .

$(\begin{matrix} 0 & 4 & 3 \\ - 4 & 0 & - 5 \\ - 3 & 5 & 0 \end{matrix})$ .

1.3 Rechenoperationen mit Matrizen

1.3.1 Addition

$C = A + B \Rightarrow c_{i k} = a_{i k} + b_{i k}$
.
Beispiel 1 - 10 mt9005 .
.
.

.
Beispiel 1 - 11: - - -- -T
-C -=- A + <msup><mrow>B< /mrow><mrow ></mrow></msup > .
Diese Operation ist nicht definiert .

1.3.2 Multiplikation mit einem Skalar

$λ \cdot A = λ \cdot (a_{i k}) = (λ \cdot a_{i k})$ für alle $i, k$ .
.
Beispiel 1 - 12 mt9006 .
.
.

kommutativ:	$A + B$	$=$	$B + A$
	$λ \cdot A$	$=$	$A \cdot λ$
assoziativ:	$A + (B + C)$	$=$	$(A + B) + C$
	$λ \cdot (μ \cdot A)$	$=$	$(λ \cdot μ) \cdot A$
distributiv:	$(λ + μ) A$	$=$	$λ A + μ A$
	$λ (A + B)$	$=$	$λ A + λ B$

Beispiel 1 - 13 mt9007
.

1.3.3 Multiplikation von Matrizen

$A = (\begin{matrix} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{matrix})$ und $B = (\begin{matrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{matrix})$

$C = A \cdot B$
.

Die Ergebnismatrix hat 3 Spalten und 2 Zeilen

$C = (\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \end{matrix})$
.

$c_{11} = a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21} = 1 \cdot 4 + 5 \cdot 1 = 9$

Falk-Schema für die Multiplikation von Matrizen : .
.

$A = (\begin{matrix} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{matrix})$	$C$

	$B = (\begin{matrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{matrix})$


$a_{11}$	$a_{12}$	$c_{11}$	$c_{12}$	$c_{13}$

$a_{21}$	$a_{22}$	$c_{21}$	$c_{22}$	$c_{23}$


		$b_{11}$	$b_{12}$	$b_{13}$

		$b_{21}$	$b_{22}$	$b_{23}$

C = A \cdot B

$c_{i k}$	$=$	$a_{i 1} \cdot b_{1 k} + a_{i 2} \cdot b_{2 k} + \dots + a_{i n} \cdot b_{n k}$
	$=$	$\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} \cdot b_{j k}$

Beispiel 1 - 14:

$A = (\begin{matrix} 1 & 4 & 2 \\ 4 & 0 & - 3 \end{matrix}) B = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ - 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 4 \end{matrix})$

C = A \cdot B


$1$	$4$	$2$	$- 7$	$15$	$28$

$4$	$0$	$- 3$	$4$	$1$	$- 12$


			$1$	$1$	$0$

			$- 2$	$3$	$5$

			$0$	$1$	$4$

Multiplikation ist nur zulässig, wenn $Spaltenanzahl A = Zeilenanzahl B$ .

Beispiel 1 - 15 mt9008
.

Rechengesetze für die Matrixmultiplkikation:

Assoziativität:	$A \cdot (B \cdot C)$	$=$	$(A \cdot B) \cdot C$
Distributivität:	$A \cdot (B + C)$	$=$	$A \cdot B + A \cdot C$
	$(A + B) \cdot C$	$=$	$A \cdot C + B \cdot C$
	${(A \cdot B)}^{T}$	$=$	$B^{T} \cdot A^{T}$
	$A \cdot E$	$=$	$E \cdot A = A$

Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ

Man kann jedoch bei Gleichungen mit Matrizen entweder auf beiden Seiten von links oder auf beiden Seiten von rechts mit einer Matrix multiplizieren (vorausgesetzt natürlich, die Anzahl Spalten bzw. Zeilen sind dazu passend): .

	$(B \cdot C)$	$=$	$(E \cdot F)$
$\to$	$A \cdot (B \cdot C)$	$=$	$A \cdot (E \cdot F)$
$\to$	$(B \cdot C) \cdot A$	$=$	$(E \cdot F) \cdot A$

1.3.4 Übungen

1.4 Gauß’scher Algorithmus

1.4.1 Darstellung in Matrixform

$- x$	$+ y$	$+ z$	$=$	$0$			umbilden in Matrix:
$x$	$- 3 y$	$- 2 z$	$=$	$5$	$\Rightarrow$	1. Spalte: $x$ ,	2. Spalte: $y$
$5 x$	$+ y$	$+ 4 z$	$=$	$3$		3. Spalte: $z$ ,	4. Spalte: Konstante

$\Rightarrow$

$- 1$	$+ 1$	$+ 1$	$0$
$1$	$- 3$	$- 2$	$5$
$5$	$1$	$4$	$3$

.
Das lineare Gleichungssystem kann geschrieben werden als $A \cdot \vec{x} = \vec{c}$ .
nz Koeffizienten: $a_{i k}$
Absolutglieder (Konstanten): $c_{i}$

$A \cdot \vec{x} = \vec{c} \Rightarrow$

$a_{11} \cdot x_{1}$	$+ a_{12} \cdot x_{2}$	$+ a_{13} \cdot x_{3}$	$+ \dots$	$+ a_{1 n} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{1}$
$a_{21} \cdot x_{1}$	$+ a_{22} \cdot x_{2}$	$+ a_{23} \cdot x_{3}$	$+ \dots$	$+ a_{2 n} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{2}$
$a_{31} \cdot x_{1}$	$+ a_{32} \cdot x_{2}$	$+ a_{33} \cdot x_{3}$	$+ \dots$	$+ a_{3 n} \cdot x_{n}$	$=$	$c_{3}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$ $⋮$ $⋮$	$⋮$		$⋮$

$\Rightarrow$	$A \cdot \vec{x}$	$=$	$\vec{c}$	mit $\vec{x} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ ⋮ \end{matrix})$	und $\vec{c} = (\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \\ ⋮ \end{matrix})$

Entsprechend verfolgt jetzt der Gaußsche Algorithmus das Ziel, über äquivalente Umformungen die Matrix $A$ in ein gestaffeltes System (Dreiecksform) zu bringen durch die Schritte:

1.: Vertauschen von Zeilen
2.: Multiplikation mit einem Faktor $\neq 0$
3.: Addition eines Vielfachen einer anderen Zeile

.
Beispiel 1 - 16 mt9026 .
.
.

.
Beispiel 1 - 17 mt9009 .
.
.

1.4.2 Lösungsschritte des Gauß’schen Algorithmus

Die Lösung eines linearen Gleichungssystems $A \cdot \vec{x} = \vec{c}$ erfolgt durch Umformung in zwei, ggf. drei Schritten:
I. Vorwärtselimination mit
Ia. eventueller Pivotisierung (d.h. Vertauschen von Zeilen, bis die Diagonalelemente $\neq 0$ )
II. Rückwärtselimination

I. Vorwärtselimination

1.

Eliminationsschritt: (

a_{11} \neq 0

)

subtrahiere	$a_{21} ∕ a_{11}$ -fache der 1.Zeile von 2.Zeile
⋮	$a_{31} ∕ a_{11}$ -fache der 1.Zeile von 3.Zeile
⋮	⋮

Durch den ersten Eliminationsschritt entstehen in der 1. Spalte der Matrix Nullen, außer

a_{1} 1

sind alle

a_{i} 1 = 0

2.

Eliminationsschritt: (

a_{22} \neq 0

)

subtrahiere	$a_{32} ∕ a_{22}$ -fache der 2.Zeile von 3.Zeile
⋮	$a_{42} ∕ a_{22}$ -fache der 2.Zeile von 4.Zeile
⋮	⋮

3.

Solange wiederholen, bis die Dreiecksform vorliegt. (Die Koeffizienten der Matrix in Dreiecksform werden ab hier der Übersichtlichkeit halber mit Koeffizienten

{a^{'}}_{i k}

bzw.

{c^{'}}_{i}

bezeichnet.)

Ia. Pivotisierung

1.: Das Gauß-Verfahren versagt, falls das Diagonalelement oder Pivotelement (engl. für Dreh- und Angelpunkt) $a_{k k}$ eines Eliminationsschrittes gleich Null ist, $a_{k k} = 0$ (Abbruch des Verfahrens bei Division durch Null).
2.: Pivotsuche: Ist ein Diagonalelement $a_{k k} = 0$ , so vertauscht man die Pivot-Zeile k vor Ausführung des k-ten Eliminationsschrittes mit derjenigen Zeile $m > k$ , die den betragsmäßig größten Koeffizienten für $x_{k}$ besitzt:
3.: Neue Pivotzeile $m$ , neues Pivotelement $a_{m k}$ .

II. Rückwärtselimination
Aus der Dreiecksform werden die Lösungen $x_{i}$ durch schrittweises Rückwärtseinsetzen gewonnen:

1.: Zuerst die unterste Zeile nach $x_{n}$ auflösen.
2.: Die anderen Elemente $x_{i}, i = n - 1, \dots, 1$ des Lösungsvektors $x$ bestimmt man dann rekursiv mit der Gleichung $x_{n} =$ $\frac{{c^{'}}_{n}}{{a^{'}}_{n n}}$ , $x_{i} = \frac{{c^{'}}_{i}}{{a^{'}}_{i i}} - \sum_{k = i + 1}^{n} x_{k} \cdot \frac{{a^{'}}_{i k}}{{a^{'}}_{i i}}, i = n - 1, \dots, 1$

.
Sei $A$ eine $4 x 4$ -Matrix, dann lautet das Gleichungssystem $A \cdot \vec{x} = \vec{c}$ mit dem unbekannten Vektor $\vec{x} = {(x_{-} 1, x_{2}, \dots x_{n})}^{T}$ :

$a_{11} x_{1}$	$+$	$a_{12} x_{2}$	$+$	$a_{13} x_{3}$	$+$	$a_{14} x_{4}$	$=$	$c_{1}$
		$a_{22} x_{2}$	$+$	$a_{23} x_{3}$	$+$	$a_{24} x_{4}$	$=$	$c_{2}$
				$a_{33} x_{3}$	$+$	$a_{34} x_{4}$	$=$	$c_{3}$
						$a_{44} x_{4}$	$=$	$c_{4}$

x_{4}

erhält man aus der letzten Zeile:

x_{4} = \frac{c_{4}}{a_{44}}

Der Wert für

x_{4}

wird in die vorletzte Zeile eingesetzt, diese nach

x_{3}

aufgelöst:

x_{3} = \frac{c_{3} - a_{34} x_{4}}{a_{33}}

.
.
Das gleiche Schema wird auf die darüberliegenden Zeilen angewandt, bis alle Werte von

\vec{x}

bestimmt sind.

1.4.3 Gauß-Jordan-Verfahren

Alternativ zum beschriebenen Gauß-Verfahren kann man auch die Koeffizientenmatrix noch weiter umformen, bis man eine Einheitsmatrix $E$ erhält. Damit können die Lösungen direkt abgelesen werden.

$A \cdot \vec{x} = \vec{c}$
$A^{- 1} \cdot A \cdot \vec{x} = A^{- 1} \cdot \vec{c}$ oder
$\vec{x} = A^{- 1} \cdot \vec{c}$
Dies ist auch als Gauß-Jordan-Verfahren bekannt.
.
Beispiel 1 - 18 mt9025 .
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.

.
Beispiel 1 - 19 mt9010 .
.
.

Beispiele zum Gauß’schen Verfahren
.
Beispiel 1 - 20 mt9011 .
.
.

.
Beispiel 1 - 21 mt9012 .
.
.

.
Beispiel 1 - 22 mt9013 .
.
.

Ein Gleichungssystem hat

$)$

eine oder keine oder unendlich viele

Lösungen. .

Ist das Gleichungssystem (

\vec{c} = 0

) homogen, so hat es entweder genau eine Lösung (die Triviallösung

\vec{x} = \vec{0}

) oder unendlich viele Lösungen (darunter auch die Triviallösung).