Doppellimites

Kann man Grenzwerte vertauschen, d.h. ist stets $\lim_{x \to a} (\lim_{y \to b} f (x, y)) = \lim_{y \to b} (\lim_{x \to a} f (x, y)) ?$

Das Beispielder Funktion

f (x, y) = {\begin{array}{l} \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}} wenn x \neq 0 oder y \neq 0 \\ 0 wenn x = y = 0 \end{array}

mit

a = b = 0

zeigt, dass das im Allgemeinen nicht geht, denn es ist

\lim_{x \to 0} \lim_{y \to 0} \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 0^{2}}{x^{2} + 0^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x^{2}} = 1

aber

\lim_{y \to 0} \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = \lim_{y \to 0} \frac{0^{2} - y^{2}}{0^{2} + y^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{- y^{2}}{y^{2}} = - 1

Geometrisch bedeutet dies, dass es einen erheblichen Unterschied desFunktionswerts macht, ob man sich erst zur x-Achse und dann auf dieser zum Koordinatenursprung bewegt oder erst zur y-Achse und dann auf der y-Achse zum Ursprung. Versuchen Sie sich das vorzustellen - die grafische Darstellung der Funktion hilft dabei.