Nach Cantor ist eine Menge $M$ eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von $M$ genannt werden) zu einem Ganzen.

Wie üblich benutzen wir das Symbol $\in$ um auszudrücken, daß das Element $a$ zu der Menge $M$ gehört: $a \in M$ .

Der Cantor’sche Mengenbegriff erwies sich jedoch als widersprüchlich. Um die Jahrhundertwende 1900 wurden mehrere Antinomien konstruiert. Eine – wohl die bekannteste – die 1901 von B. Russel gefunden wurde, sei hier wiedergegeben.

Wäre Cantors Mengenbegriff korrekt, dann ließe sich die Menge $M$ aller Mengen $X$ bilden, die sich selbst nicht als Element enthalten.

Für alle Mengen $X$ gilt dann: $X \in M$ genau dann, wenn $X \notin X$ .

Da $M$ selbst eine Menge ist, müßte speziell für $X = M$ gelten:

$M \in M$ genau dann, wenn $M \notin M .$

Dies liefert offensichtlich einen Widerspruch.

Wir wollen Mengen aber trotzdem in diesem „naiven“ anschaulichen Sinne verstehen. Eine logisch befriedigende Einführung in die Mengenlehre sprengt den Rahmen dieses Buches.

Elementare mengentheoretische Operationen und Relationen

Wir führen zunächst folgende Bezeichnungen ein:

Ist $E (x)$ eine Eigenschaft für Elemente $x$ (Mengen sind natürlich ebenfalls Elemente) – dies könnte z.B. $x \neq x, x \in M$ oder auch $x \notin M$ sein, wobei $M$ eine gegebene Menge ist – dann bezeichne ${x : E (x)}$ die Zusammenfassung aller Elemente $x$ mit der Eigenschaft $E$ (dies muß, entsprechend der konstruierten Antinomie, nicht wieder eine Menge sein).

Ist $a$ ein Element, dann ist ${a}$ die Menge, die aus genau dem einen Element $a$ besteht. Analog soll ${a_{1}, \dots, a_{n}}$ die Menge sein, die aus genau den Elementen $a_{1}, \dots, a_{n}$ besteht. Dabei werden die Elemente in der Menge natürlich nur einmal „gezählt“, falls sie in der Auflistung $a_{1}, \dots, a_{n}$ mehrfach auftreten.

Im folgenden seien $M, N$ Mengen.