Bemerkung. Aus (2) und (3) folgt sofort, daß es genau ein solches Element $0$ in $IR$ gibt. Denn sind $0_1,0_2$ Elemente mit dieser Eigenschaft, dann gilt:       $0_1=0_1+0_2=0_2+0_1=0_2.$

Bemerkung. Aus (1) – (4) folgt, daß es für jedes $x\in IR$ genau ein $y\in IR$ gibt mit $x+y=0$. Wir zeigen, daß $y$ durch $x$ tatsächlich eindeutig bestimmt ist. Dazu sei $x$ gegeben. Angenommen, es gibt Elemente $y,z$, so daß $x+y=0$ und $x+z=0$. Dann gilt:       $y=y+0=y+\left(x+z\right)=\left(y+x\right)+z=\left(x+y\right)+z=0+z=z+0=z.$

Dieses durch $x$ eindeutig bestimmte $y$ wird mit $y:=-x$ bezeichnet. Die Eigenschaften (1) – (4) sind die Axiome für eine $($additive$)$ abelsche Gruppe.

Bemerkung. Analog wie bei (3) gibt es genau ein solches Element $1$. Denn wären $1_1,1_2$ Elemente mit dieser Eigenschaft, dann gilt:       $1_1=1_1\cdot 1_2=1_2\cdot 1_1=1_2.$

Bemerkung. Analog wie zu (4) zeigt man, daß $y$ durch $x$ eindeutig bestimmt ist; der Beweis bleibt als Übungsaufgabe.

Dieses durch $x$ eindeutig bestimmte $y$ wird mit $y:=x^{-1}=\frac{1}{x}$ bezeichnet.

Bemerkung. Aus den obigen Axiomen erhält man: $x\cdot 0=0$ für jedes $x\in IR$. Es ist $x=x\cdot 1=x\cdot \left(1+0\right)=\underset{=x}{\underbrace{x\cdot 1}}+x\cdot 0=x+x\cdot 0.$ Nach den Axiomen (2) und (3) gibt es genau ein Element $0$, so daß $x=x+0$. Da auch $x=x+x\cdot 0$ ist, muß dann $x\cdot 0$ dieses Element $0$ sein.