II. $I R$ ist ein geordneter Körper

(d.h., in $I R$ gelten zusätzlich die folgenden 5 Eigenschaften:)

(1) Wenn $x \leq y$ und $y \leq z$ , so $x \leq z$ . (Transitivität)

(2) Wenn $x \leq y$ und $y \leq x$ , so $x = y$ . (Antisymmetrie)

(3) Für jedes $x, y \in I R$ gilt: $x \leq y$ oder $y \leq x$ . (Linearität)

(4) Wenn $x \leq y$ , so $x + z \leq y + z$ . (Monotonie der Addition)

(5) Wenn $0 \leq x$ und $0 \leq y$ , so $0 \leq x \cdot y$ .

Bemerkung. Aus (3) folgt sofort die Reflexivität, d.h. für jedes

x

gilt:

x \leq x

. Die Eigenschaften (1) – (3) sind die Axiome der reflexiven Ordnung. (4) könnte auch abgeschwächt werden zu

$(4^{'})$ Wenn $0 \leq x$ und $0 \leq y$ , so $0 \leq x + y$ .

Es läßt sich leicht nachweisen, daß $x \leq y \Leftrightarrow 0 \leq y - x$ . Wie üblich ist $y \geq x$ eine andere Schreibweise für $x \leq y$ .