III. $I R$ ist ein archimedisch geordneter Körper

(d.h., in $I R$ gilt zusätzlich das archimedische Axiom)

Für jedes

x, y \in I R

mit

0 < x, y

gibt es eine natürliche Zahl

n

, so daß

y < n \cdot x

(wobei

x < y := x \leq y

und

x \neq y

Dies bedeutet, daß durch endlich-oft-maliges Addieren einer positiven reellen Zahl zu sich selbst schließlich jede reelle Zahl übertroffen werden kann.

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Bevor das letzte Axiom für die reellen Zahlen formuliert werden kann, benötigen wir noch einige Definitionen und Bezeichnungen.