Beweis. (1). Nach Eigenschaft I(4) ist $\left(-a\right)+\left(-\left(-a\right)\right)=0.$ Weiterhin gilt $a+\left(-a\right)=0=\left(-a\right)+a.$ Folglich sind $-\left(-a\right)$ und $a$ inverse Elemente von $-a$. Da das Inverse eines Elements eindeutig bestimmt ist, muß $-\left(-a\right)=a$ sein.

Es ist stets $a+0=a$, speziell auch für $a=-0$. Folglich gilt nach I(2)      $-0=\left(-0\right)+0=0+\left(-0\right)=0$, also $-0=0.$

Weiterhin ist $a+\left(-a\right)=0$ und $a=a\cdot 1.$ Dann gilt

     $a+\left(-1\right)\cdot a=a\cdot 1+\left(-1\right)\cdot a=a\cdot 1+a\cdot \left(-1\right)=a\cdot \left(\underset{=0}{\underbrace{1+\left(-1\right)}}\right)=a\cdot 0=0.$

Folglich ist $\left(-1\right)\cdot a$ invers zu $a$. Andererseits ist auch $-a$ invers zu $a$. Da das inverse Element von $a$ eindeutig bestimmt ist, gilt $\left(-1\right)\cdot a=-a$.

Die Behauptungen (2) – (4) bleiben als Übungsaufgaben.   $$