Satz 2.2 Für alle reellen Zahlen a,b,c gilt:

  (0) 0 < 1.

  (1) nicht(a < a). (Irreflexivität)

  (2) Wenn a < b und b < c, so a < c. (Transitivität)

  (3) Für jedes a,b gilt: a < b oder a = b oder b < a. (Konnexität)

    Bemerkung. Die Eigenschaften (1) – (3) sind die Axiome für die irreflexive Ordnung.

(3′) Es gilt genau eine der drei Beziehungen : a < b, a = b, b < a. (Trichotomie)

  (4) Wenn a < b, so a + c < b + c. (Monotonie der Addition)

  (5)

Wenn a < b und c > 0, so a ⋅ c < b ⋅ c, Wenn a < b und c < 0, so a ⋅ c > b ⋅ c.

  (6)

Wenn a ≤ b und c ≤ d, so a + c ≤ b + d. Ist zusätzlich a < b oder c < d, so ist a + c < b + d.

  (7) Es gilt : a < b ⇔ - b < -a.

  (8)

Wenn 0 < a und 0 < b, so 0 < a ⋅ b, Wenn 0 < a und b < 0, so a ⋅ b < 0, Wenn a < 0 und b < 0, so 0 < a ⋅ b.

  (9)

Wenn 0 < a, so 0 < 1 a, Wenn a < 0, so 1 a < 0.

(10)

Wenn 0 < a < b, so 0 < 1 b < 1 a, Wenn a < 0 < b, so 1 a < 0 < 1 b, Wenn a < b < 0, so 1 b < 1 a < 0.

(11)

Wenn 0 < a, dann gibt es natürliche Zahlen m und n, so daß 0 < a < m und 0 < 1 n < a.

(12) Wenn a < b, so a < a + b 2 < b.