Beweis. (1). Der Beweis erfolgt mit dem ersten Cantorschen Diagonalverfahren.

Wir setzen hierbei voraus, daß man jede positive rationale Zahl als Bruch zweier positiver natürlicher Zahlen darstellen kann. Offenbar kommt jede positive rationale Zahl in dem folgenden unendlichen Schema wenigstens einmal (sogar unendlich oft) vor.

     $\begin{array}{cccccccc}\frac{1}{1}& & \frac{1}{2}& \to & \frac{1}{3}& & \frac{1}{4}& \cdots \\ \downarrow & \nearrow & & \swarrow & & \nearrow & & \cdots \\ \frac{2}{1}& & \frac{2}{2}& & \frac{2}{3}& & \frac{2}{4}& \cdots \\ & \swarrow & & \nearrow & & \swarrow & & \cdots \\ \frac{3}{1}& & \frac{3}{2}& & \frac{3}{3}& & \frac{3}{4}& \cdots \\ \downarrow & \nearrow & & \swarrow & & \nearrow & & \cdots \\ \frac{4}{1}& & \frac{4}{2}& & \frac{4}{3}& & \frac{4}{4}& \cdots \\ ⋮& & ⋮& & ⋮& & ⋮& \ddots \end{array}$

Entsprechend der Pfeilrichtungen (diagonal) werden alle Brüche aufgelistet:

     $\frac{1}{1},\frac{2}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{2},\frac{3}{1},\frac{4}{1},\frac{3}{2},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{2}{4},\frac{3}{3},\frac{4}{2},\frac{5}{1},\dots .$

Wir lassen jetzt alle die rationalen Zahlen weg, die in der Auflistung zuvor schon einmal aufgetreten sind; es sind dies $\frac{2}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{3},\frac{4}{2},\dots .$ Damit entsteht eine neue Auflistung $r_0,r_1,r_2,\dots$, in der jede positive rationale Zahl genau einmal vorkommt. Folglich ist

     $lQ=\left\{0,-r_0,r_0,-r_1,r_1,-r_2,r_2,\dots \right\}.$

Definiert man eine Abbildung $f$ wie folgt:

     $f\left(0\right):=0,f\left(2n-1\right):=-r_{n-1}$ und $f\left(2n\right):=r_{n-1}$ für jedes $n\ge 1,$

dann ist $f$ offenbar eine Bijektion zwischen $IN$ und $lQ,$ und folglich ist $lQ$ abzählbar.

(2). Der Beweis erfolgt mit dem zweiten Cantorschen Diagonalverfahren.

Angenommen, das Intervall $\left(0,1\right)\subseteq IR$ ist abzählbar.

Wir setzen hierbei voraus, daß jede reelle Zahl aus $\left(0,1\right)$ eine eindeutige Darstellung als unendlicher Dezimalbruch der Form $0,n_1{n}_2{n}_3\dots$ besitzt, wobei $0\le n_i\le 9$ ist und 9-Periode ausgeschlossen wird. Denn ist $a=0,n_1\dots n_{k}999\dots$ und $n_k<9$, dann ist $a=0,n_1\dots n_{k-1}\left(n_k+1\right)000\dots$ eine weitere Darstellung von $a$. Damit wäre die Eindeutigkeit der Darstellbarkeit verletzt.

Nach der obigen Annahme ist $\left(0,1\right)~IN$. Folglich gibt es eine Aufzählung der reellen Zahlen in $\left(0,1\right)$ (eineindeutige Numerierung mit natürlichen Zahlen):

     $a_0=0,n_{11}{n}_{12}{n}_{13}\dots$

     $a_1=0,n_{21}{n}_{22}{n}_{23}\dots$

     $a_2=0,n_{31}{n}_{32}{n}_{33}\dots$

     $⋮⋮$

wobei $0\le n_{ij}\le 9$ und 9-Periode nicht auftritt. Nach Voraussetzung erscheint in dieser Aufzählung jede reelle Zahl aus $\left(0,1\right)$ genau einmal.

Wir konstruieren jetzt ein $b\in \left(0,1\right)$, das in dieser Aufzählung nicht vorkommt und erhalten somit einen Widerspruch.

Sei $b=0,m_1{m}_2{m}_3\dots$ mit $0<m_i<9$ und $m_i\ne n_{ii}$ für alle $i$. Dann ist insbesondere $0<b<1,$ und $b$ unterscheidet sich von jedem $a_i$ wenigstens an der $\left(i+1\right)$-ten Stelle.   !   $$