Beweis. (1). Nach Satz 2.6(3) gilt: $\pm a \leq | a |$ und $\pm b \leq | b | .$

1. Fall: $a + b \geq 0 \Rightarrow | a + b | = a + b \leq | a | + | b | .$

2. Fall: $a + b < 0 \Rightarrow | a + b | = - (a + b) = (- a) + (- b) \leq | a | + | b | .$

In jedem Fall ist also $| a + b | \leq | a | + | b | .$

(2). Nach (1) gilt:

$| a | = | a - b + b | \leq | a - b | + | b | \Rightarrow | a | - | b | \leq | a - b | .$

Analog erhält man

$| b | = | b - a + a | \leq | b - a | + | a | \Rightarrow \underset{- (| a | - | b |)}{\underset{︸}{| b | - | a |}} \leq | b - a | = | a - b | .$

Also $\pm (| a | - | b |) \leq | a - b |$ , und somit gilt

$| | a | - | b | | \leq | a - b | .$ <mi
>P</mi><mi
>I</mi><mi
>C</mi><mi
>T</mi>