Wir befassen uns in diesem Abschnitt mit Zahlenfolgen, die u.a. zur Einführung und Behandlung des für die Analysis äußerst wichtigen Grenzwertbegriffes unerläßlich sind.

Definition. (Folge) $F$ ist eine Folge (von reellen Zahlen) =Df

F

ist eine Abbildung von

I N

I R

, d.h., jeder natürlichen Zahl

n

wird eine reelle Zahl

a_{n}

zugeordnet, so daß

F (n) = a_{n}

Bez.: $F = {(a_{n})}_{n = 0, 1, 2, \dots}$ oder einfach $F = (a_{n}) .$

Die $a_{n}$ heißen Folgeglieder. Für den praktischen Gebrauch kann die Folge auch mit dem Glied $a_{k}$ , $k > 0$ , beginnen. Hierzu müßte die Definition wie folgt verallgemeinert werden: Eine Folge $F$ ist eine Abbildung aus $I N$ in $I R$ , wobei $D (F)$ unendlich ist.

Beispiele.

$(a_{n}) = (\frac{1}{n + 1}) = (\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots) .$

Betrachtet man $(a_{n}) = (\frac{1}{n}),$ dann wird selbstverständlich angenommen, daß die Folge nicht mit $a_{0}$ beginnt, sondern erst mit $a_{1}$ .

$(a_{n}) = (\frac{1 - {(- 1)}^{n}}{n + 1}) = (0, 1, 0, \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{3}, \dots),$

$(a_{n}) = ((1 + \frac{1}{n + 1})^{n + 1}) = (\underset{2}{\underset{︸}{(1 + \frac{1}{1})^{1}}}, \underset{\frac{9}{4}}{\underset{︸}{(1 + \frac{1}{2})^{2}}}, \underset{\frac{64}{27}}{\underset{︸}{(1 + \frac{1}{3})^{3}}}, \dots),$

$(a_{n}) = ({(- 1)}^{n}) = (1, - 1, 1, - 1, 1, - 1, \dots),$

$(a_{n}) = (0) = (0, 0, 0, \dots),$

$(a_{n}) = (n) = (0, 1, 2, 3, \dots) .$

Nicht alle Folgen, die man bilden kann, sind für uns interessant. Wir sondern mit Hilfe einer Definition eine besonders wichtige Teilklasse aus.

3.1 Konvergenz von Folgen

Definition. (Konvergenz) Sei $(a_{n})$ eine Folge und $a \in I R .$ $(a_{n})$ ist konvergent gegen $a$ =Df

Für jedes

ε > 0

existiert ein

n_{0}

, so daß für jedes

n \geq n_{0}

gilt:

| a_{n} - a | < ε

. In diesem Falle heißt

a

Grenzwert oder Limes von

(a_{n})

Bez.:

a = lim_{n \to \infty} a_{n}

oder

a = lim a_{n}

oder auch einfach

$a_{n} \underset{n \to \infty}{\to} a$ oder $a_{n} \to a .$

Um den Konvergenzbegriff möglichst anschaulich zu formulieren, sagen wir auch: In jeder $ε$ -Umgebung von $a$ liegen fast alle Folgeglieder $a_{n}$ . „Fast alle“ bedeutet „alle, mit Ausnahme höchstens endlich vieler“.

Definition. (1) $(a_{n})$ konvergiert (oder ist konvergent $)$ in $I R$ =Df

Es existiert ein

a \in I R

, so daß

(a_{n})

gegen

a

konvergiert.

(2)

(a_{n})

divergiert (oder ist divergent

)

I R

=Df

(a_{n})

ist nicht konvergent in

I R

Bemerkung. Im folgenden bedeutet „Konvergenz“ – wenn nichts anderes vereinbart wird – immer „Konvergenz“ in $I R$ .

Beispiele. 1. Sei $(a_{n}) = (\frac{1}{n}) .$ Behauptung: $(a_{n})$ konvergiert gegen $0$ . Beweis. z.z.: Für beliebiges $ε > 0$ gibt es ein $n_{0}$ , so daß für jedes $n \geq n_{0}$ gilt: $| \frac{1}{n} - 0 | = \frac{1}{n} < ε .$ Sei $ε > 0 .$ Nach Satz 2.2(11) existiert ein $n_{0}$ , so daß $\frac{1}{n_{0}} < ε .$ Für $n \geq n_{0}$ ist dann $| \frac{1}{n} - 0 | = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{n_{0}} < ε .$ Also $lim \frac{1}{n} = 0 .$

2. Sei $(a_{n}) = (\frac{2 n^{2}}{n^{2} + 2 n + 3}) .$ Behauptung: $a_{n} \to 2 .$ Beweis. Sei $ε > 0 .$ Es ist

$\| a_{n} - 2 \|$	=	$\| \frac{2 n^{2}}{n^{2} + 2 n + 3} - 2 \| = \| \frac{2 n^{2} - 2 n^{2} - 4 n - 6}{n^{2} + 2 n + 3} \|$
	=	$\| \frac{- 4 n - 6}{n^{2} + 2 n + 3} \| = \frac{4 n + 6}{n^{2} + 2 n + 3}$
	=	$\underset{\leq \frac{4 n}{n^{2}}}{\underset{︸}{\frac{4 n}{n^{2} + 2 n + 3}}} + \underset{\leq \frac{6}{2 n}}{\underset{︸}{\frac{6}{n^{2} + 2 n + 3}}}$
	$\leq$	$\frac{4}{n} + \frac{3}{n} = \frac{7}{n} .$

Ist $n_{0} > \frac{7}{ε}$ , dann gilt für alle $n \geq n_{0} :$

$| a_{n} - 2 | \leq \frac{7}{n} \leq \frac{7}{n_{0}} < ε .$

3. Sei $(a_{n}) = ({(- 1)}^{n})$ . Behauptung: $(a_{n})$ ist divergent (in $I R$ ). Annahme: $(a_{n})$ konvergiert gegen $a \in I R$ . Nach Definition der Konvergenz erhält man: Für jedes $ε > 0$ existiert ein $n_{0}$ , so daß für jedes $n \geq n_{0}$ gilt: $| a_{n} - a | < ε .$ Dies gilt insbesondere für $ε = 1 .$ Für $a$ sind zwei Fälle möglich: $a \geq 0$ oder $a < 0$ . Fall 1. $a \geq 0 .$

Ist $n$ ungerade, dann ist $a_{n} = - 1 .$ Folglich ist

$1 = ε > | a_{n} - a | = | - 1 - a | = | 1 + a | \geq 1,$ PICT !

Fall 2. $a < 1 .$

Ist $n$ gerade, dann ist $a_{n} = 1$ und damit gilt

$1 = ε > | a_{n} - a | = | 1 + \underset{> 0}{\underset{︸}{(- a)}} | > 1,$ PICT !

Folglich ist $(a_{n})$ nicht konvergent.

Satz 3.1 Eine Folge $(a_{n})$ hat höchstens einen Grenzwert (d.h., $(a_{n})$ konvergiert gegen höchstens eine Zahl).

Beweis. Angenommen, $a_{n} \to a$ und $a_{n} \to b$ und $a \neq b$ . Dann ist $| a - b | > 0 .$ Nach Definition der Konvergenz gilt:

Für jedes $ε > 0$ existiert ein $n_{0}$ , so daß für jedes $n \geq n_{0} : | a_{n} - a | < ε$ , und

es existiert ein $m_{0}$ , so daß für jedes $n \geq m_{0} : | a_{n} - b | < ε .$

Das gilt speziell für $ε = \frac{| a - b |}{2} .$

Ist $k = max {n_{0}, m_{0}},$ dann gilt für $n \geq k$

$| a - b | = | a - a_{n} + a_{n} - b | \leq | a - a_{n} | + | a_{n} - b | < 2 ε .$

Also

$| a - b | < 2 ε = 2 \cdot \frac{| a - b |}{2} = | a - b |$ PICT ! <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>

Definition. (Nullfolge) Eine Folge $(a_{n})$ heißt Nullfolge =Df

(a_{n})

konvergiert gegen 0.

Beispiele.

1. $(\frac{1}{n}) und (0)$ sind triviale Beispiele für Nullfolgen.

2. Es sei $| a | < 1$ und $(a_{n}) = (a^{n}) .$ Um nachzuweisen, daß $(a^{n})$ eine Nullfolge ist, g.z.z.: Wenn $ε > 0$ , dann existiert ein $n_{0}$ , so daß für jedes $n \geq n_{0} : | a^{n} - 0 | < ε .$

Sei $ε > 0 .$ Für $a = 0$ ist die Behauptung trivial. Es sei jetzt $a \neq 0 .$ Wegen $| a | < 1$ ist $\frac{1}{| a |} > 1 .$

Nach dem Korollar zur Bernoullischen Ungleichung existiert für $\frac{1}{ε}$ eine natürliche Zahl $n_{0}$ , so daß $(\frac{1}{| a |})^{n_{0}} > \frac{1}{ε} .$ Folglich ist $\frac{1}{| a_{0} |^{n_{0}}} > \frac{1}{ε},$ also $| a |^{n_{0}} < ε .$ Für $n \geq n_{0}$ gilt

damit $| a^{n} - 0 | = | a |^{n} \leq | a |^{n_{0}} < ε .$

Satz 3.2 $(a_{n})$ konvergiert gegen $a \Leftrightarrow (a_{n} - a)$ konvergiert gegen $0$ .

Beweis. Trivial. <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>

Definition. (Beschränktheit bei Folgen) Sei $(a_{n})$ eine Folge von reellen Zahlen.

(1) $(a_{n})$ ist nach oben (bzw. nach unten) beschränkt =Df

Es existiert ein

c \in I R

, so daß

a_{n} \leq c

(bzw.

c \leq a_{n}

) für jedes

n .

(2) $(a_{n})$ ist beschränkt =Df

(a_{n})

ist nach oben und nach unten beschränkt.

Folgerung. $(a_{n})$ ist beschränkt gdw ein $c \in I R$ existiert, so daß $| a_{n} | \leq c .$

Beispiel. $(a_{n}) = (\frac{10 0^{n}}{n!})$ ist beschränkt.

$(\frac{10 0^{n}}{n!}) = (\underset{1}{\underset{︸}{\frac{10 0^{0}}{0!}}}, \underset{100}{\underset{︸}{\frac{10 0^{1}}{1!}}}, \underset{5000}{\underset{︸}{\frac{10 0^{2}}{2!}}}, \dots, \frac{10 0^{100}}{100!}, \frac{10 0^{101}}{101!}, \dots)$

$0$ ist offenbar eine untere Schranke von $(a_{n})$ . Es bleibt noch nachzuweisen, daß es auch eine obere Schranke gibt, obwohl es aufgrund der ersten Glieder nicht so zu sein scheint.

Für $n \geq 100$ und $n = 100 + k$ ist

$a_{n} = \frac{10 0^{100 + k}}{(100 + k)!} = \frac{10 0^{100}}{100!} \cdot \underset{< 1}{\underset{︸}{\frac{10 0^{k}}{101 \cdot 1012 \dots (100 + k)}}} \leq \frac{10 0^{100}}{100!} = a_{100} .$

Für $n < 100$ ist offensichtlich $a_{n} \leq a_{100} .$ Folglich ist $a_{100}$ eine obere Schranke von $(a_{n}) .$

Bemerkung. $(\frac{10 0^{n}}{n!})$ ist sogar eine Nullfolge. Denn für $n = 100 + k$ und $k \geq 0$ ist

$a_{n} = \frac{10 0^{100 + k}}{(100 + k)!} = \underset{: = c}{\underset{︸}{\frac{10 0^{100}}{100!}}} \cdot \underset{\leq \frac{100}{100 + k}}{\underset{︸}{\frac{10 0^{k}}{101 \cdot 102 \dots (100 + k)}}} \leq c \cdot \frac{100}{100 + k};$

und für beliebiges $ε > 0$ ist dann

$\frac{c \cdot 100}{100 + k} < ε \Leftrightarrow \frac{c \cdot 100}{ε} < 100 + k = n,$

d.h., für fast alle $n$ gilt $| a_{n} - 0 | = | a_{100 + k} | < ε .$

Satz 3.3 Jede konvergente Folge ist beschränkt.

Beweis. Es sei $(a_{n})$ konvergent gegen $a$ . Für $ε = 1$ existiert dann ein $n_{0}$ , so daß für jedes $n \geq n_{0}$ gilt: $| a_{n} - a | < ε = 1 .$ Es sei $d : = max {| a_{0} - a | : n < n_{0}}, \Rightarrow | a_{n} - a | \leq d$ für alle $n < n_{0} .$ Für beliebige $n$ gilt dann: $| a_{n} - a | < 1 + d$ . Hieraus erhält man

$| a_{n} | = | a_{n} - a + a | \leq \underset{< 1 + d}{\underset{︸}{| a_{n} - a |}} + | a | < 1 + d + | a | : = c .$

Folglich ist $(a_{n})$ beschränkt. <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>

Definition. (Häufungspunkt einer Folge) Es sei $(a_{n})$ eine Folge und $a \in I R$ . $a$ ist ein Häufungspunkt (oder Verdichtungspunkt) von $(a_{n})$

=Df

In jeder

ε

-Umgebung von

a

liegen unendlich viele Folgeglieder

a_{n}

(die untereinander auch gleich sein dürfen, d.h., für jedes

ε > 0

und für jedes

n_{0}

gibt es ein

n \geq n_{0}

, so daß

| a_{n} - a | < ε

Satz 3.4 Jede beschränkte Folge besitzt wenigstens einen Häufungspunkt.

Beweis. Sei $(a_{n})$ beschränkt und $M = {a_{n} : n \in I N}$ . 1. Fall: $M$ ist endlich. Dann müssen unendlich viele Folgeglieder untereinander gleich sein:

$a_{n_{0}} = a_{n_{1}} = a_{n_{2}} = \dots : = a$ . Folglich ist $a$ ein Häufungspunkt von $(a_{n})$ . 2. Fall: $M$ ist unendlich. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt $M$ als nicht-leere und beschränkte Menge einen Häufungspunkt $a .$ Dieses $a$ ist dann auch Häufungspunkt der Folge $(a_{n}) .$ <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>

Bemerkung. Es gibt Folgen, die nicht beschränkt sind und

(a) keinen Häufungspunkt besitzen, (b) genau einen Häufungspunkt besitzen, (c) für jedes $k \in I N$ genau $k$ Häufungspunkte besitzen bzw. (d) unendlich viele Häufungspunkte besitzen.

Beispiele. (a) $(a_{n}) = (1, 2, 3, \dots)$ (kein Häufungspunkt) (b) $(a_{n}) = (0, 1, 0, 2, 0, 3, \dots)$ (genau ein Häufungspunkt) (c) $(a_{n}) = (1, \dots, k, 1, 1, \dots, k, 2, 1, \dots, k, 3, 1, \dots, k, 4, \dots)$ (genau $k$ Häufungspunkte) (d) Übungsaufgabe !

Definition. (Teilfolge) Es sei $(a_{n})$ eine Folge und $n_{0} < n_{1} < n_{2} < \dots$ (d.h., $n_{i} < n_{j}$ für $i < j; i, j \in I N$ ). Dann heißt $(a_{n_{i}})_{i = 0, 1, 2, \dots}$ Teilfolge von $(a_{n}) .$

Satz 3.5 $(a_{n})$ konvergiert gegen $a \Leftrightarrow$ jede Teilfolge von $(a_{n})$ konvergiert gegen $a$ .

Beweis. ( $\to$ ) Sei $a_{n} \to a$ und $(a_{n_{i}})$ eine Teilfolge von $(a_{n})$ . Wegen $a_{n} \to a$ gilt: Für jedes $ε > 0$ existiert ein $m_{0}$ , so daß für jedes $n \geq m_{0}$ : $| a_{n} - a | < ε .$ Das gilt insbesondere für alle $n_{i} \geq m_{0}$ . Offenbar ist $n_{i} \geq i$ und damit $| a_{n_{i}} - a | < ε$ für alle $i \geq m_{0} .$ ( $\leftarrow$ ) trivial, denn $(a_{n})$ ist eine spezielle Teilfolge von sich selbst. <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>

Satz 3.6 Ist $a$ ein Häufungspunkt der Folge $(a_{n})$ , dann existiert eine Teilfolge von $(a_{n})$ , die gegen $a$ konvergiert.

Beweis. Sei $a$ ein Häufungspunkt von $(a_{n}) .$ Dann gilt: Für jedes $ε > 0$ und für jedes $n_{0}$ existiert ein $n \geq n_{0}$ , so daß $| a_{n} - a | < ε .$ Für $n = 1, 2, 3, \dots$ wählen wir $ε_{n} = \frac{1}{n} .$ Damit erhält man:

für $ε_{1} = 1 und n_{0} = 1 gibt es ein n_{1} \geq n_{0}, so daß | a_{n_{1}} - a | < ε_{1} = 1;$

für $ε_{2} = \frac{1}{2} und n_{0} = n_{1} + 1 gibt es ein n_{2} \geq n_{0}, so daß | a_{n_{2}} - a | < ε_{2} = \frac{1}{2};$

für $ε_{3} = \frac{1}{3} und n_{0} = n_{2} + 1 gibt es ein n_{3} \geq n_{0}, so daß | a_{n_{3}} - a | < ε_{3} = \frac{1}{3};$ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

Wegen $n_{0} : = 0 < n_{1} < n_{2} < \dots$ ist $(a_{n_{i}})$ eine Teilfolge von $(a_{n})$ , und $(a_{n_{i}})$ konvergiert offenbar gegen $a$ . <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>

Korollar. Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge.

Beweis. Sei $(a_{n})$ beschränkt. Dann besitzt $(a_{n})$ einen Häufungspunkt (nach Satz 3.4) und schließlich eine konvergente Teilfolge (nach Satz 3.6). <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>

Definition. (Limes superior, Limes inferior) Es sei $(a_{n})$ eine beschränkte Folge von reellen Zahlen und $H (a_{n})$ die Menge aller Häufungspunkte (oder Limites von konvergenten Teilfolgen) von $(a_{n}) .$ $\underset{n \to \infty}{lim
sup} a_{n} (: = \underset{n \to \infty}{\lim^{¯}} a_{n}) := sup H (a_{n}) .$ $sup H (a_{n})$ heißt Limes superior oder oberer Limes von $(a_{n})$ [:= größter Häufungspunkt in $H (a_{n})$ ]. $\underset{n \to \infty}{lim
inf} a_{n} (: = \underset{n \to \infty}{\lim_{_}} a_{n}) := inf H (a_{n}), .$ $inf H (a_{n})$ heißt Limes inferior oder unterer Limes von $(a_{n})$ [:= kleinster Häufungspunkt in $H (a_{n})$ ].

Bemerkung. Die Definition ist korrekt, denn (1) $H (a_{n}) \neq \emptyset$ , da $(a_{n})$ beschränkt ist. (2) $H (a_{n})$ ist beschränkt, denn $(a_{n})$ ist beschränkt; folglich existieren $sup H (a_{n})$ und $inf H (a_{n})$ . (3) Mit Satz 2.10 läßt sich zeigen, daß $sup H (a_{n}) = max H (a_{n})$ und $inf H (a_{n}) = min H (a_{n})$ . (Übungsaufgabe !)

Satz 3.7 Für beschränkte Folgen $(a_{n})$ sind die Bedingungen $(1) - (3)$ äquivalent $:$ $(1)$ $(a_{n})$ ist konvergent. $(2)$ $(a_{n})$ besitzt genau einen Häufungspunkt. $(3)$ $lim_{_} a_{n} = lim^{‾} a_{n} .$

Beweis. Übungsaufgabe ! <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>

Definition. (monoton wachsend bzw. monoton fallend ) Sei $(a_{n})$ eine Folge von reellen Zahlen. (1) $(a_{n})$ ist monoton wachsend (bzw. monoton fallend ) =Df

Für jedes

n

gilt:

a_{n} \leq a_{n + 1}

(bzw.

a_{n + 1} \leq a_{n}

(2) $(a_{n})$ ist streng monoton wachsend (bzw. streng monoton fallend ) =Df

Für jedes

n

gilt:

a_{n} < a_{n + 1}

(bzw.

a_{n + 1} < a_{n}

Für „monoton wachsend“ bzw. „monoton fallend“ schreiben wir gelegentlich auch einfach „monoton“.

Satz 3.8 Eine monotone Folge ist konvergent gdw sie beschränkt ist.

Beweis. ( $\to$ ) Konvergente Folgen sind beschränkt (nach Satz 3.3; hierzu ist die Monotonie nicht notwendig). ( $\leftarrow$ ) Sei $(a_{n})$ monoton wachsend und beschränkt (für „fallend“ verläuft der Beweis analog). z.z.: $(a_{n})$ ist konvergent. Sei $a = sup {a_{n} : n \in I N} .$ Behauptung: $a_{n} \to a$ . Sei $ε > 0 .$ Nach Voraussetzung ist $a$ kleinste obere Schranke von $(a_{n})$ , d.h., ist $a^{'} < a$ , dann ist $a^{'}$ keine obere Schranke von $(a_{n})$ . Sei $a^{'} = a - ε$ , dann existiert ein Folgeglied $a_{n_{0}}$ , so daß $a - ε < a_{n_{0}}$ . Da $(a_{n})$ monoton wächst, gilt für alle $n \geq n_{0}$ :

$a - ε < a_{n_{0}} \leq a_{n} \leq a,$ also $| a_{n} - a | < ε$ für $n \geq n_{0} .$ <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>

Beispiel. (Definition der Eulerschen Zahl $e$ )

Sei $a_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} .$

Behauptung: $(a_{n})$ ist streng monoton wachsend und beschränkt. (Dann ist $(a_{n})$ nach Satz 3.8 konvergent.)

z.z.:

a_{n} < a_{n + 1}

für jedes

n

und 2.

(a_{n})

ist beschränkt.

Zu 1. g.z.z.: $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} > 1$ (denn alle $a_{n}$ sind positiv).

Es ist

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{(1 + \frac{1}{n + 1})^{n + 1}}{(1 + \frac{1}{n})^{n}} = \frac{(\frac{n + 2}{n + 1})^{n + 1}}{(\frac{n + 1}{n})^{n}}$

$= \frac{n + 2}{n + 1} \cdot \frac{(\frac{n + 2}{n + 1})^{n}}{(\frac{n + 1}{n})^{n}} = \frac{n + 2}{n + 1} \cdot (\frac{n (n + 2)}{{(n + 1)}^{2}})^{n}$

$= \frac{n + 2}{n + 1} \cdot (\frac{{(n + 1)}^{2} - 1}{{(n + 1)}^{2}}) = \frac{n + 2}{n + 1} \cdot \underset{\geq 1 - \frac{n}{{(n + 1)}^{2}}}{\underset{︸}{(1 - \frac{1}{{(n + 1)}^{2}})^{n}}}$

$\geq \frac{n + 2}{n + 1} \cdot (1 - \frac{n}{{(n + 1)}^{2}})$ (nach der Bernoullischen Ungleichung)

$= \frac{n + 2}{n + 1} \cdot \frac{n^{2} + n + 1}{n^{2} + 2 n + 1} > 1,$ denn

$\frac{n + 2}{n + 1} \cdot \frac{n^{2} + n + 1}{n^{2} + 2 n + 1} > 1 \Leftrightarrow (n + 2) (n^{2} + n + 1) > (n + 1) (n^{2} + 2 n + 1)$

$\Leftrightarrow n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 2 > n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1$ (und die letzte Ungleichung gilt offensichtlich).

Also $a_{n} < a_{n + 1}$ für jedes $n$ , und damit ist $(a_{n})$ streng monoton wachsend.

Zu 2. $(a_{n})$ ist beschränkt.

Offenbar ist $a_{1} = (1 + \frac{1}{1})^{1} = 2 \leq a_{n}$ für jedes $n$ .

Weiterhin ist

$a_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} < (1 + \frac{1}{n})^{n} \cdot \underset{> 1}{\underset{︸}{(1 + \frac{1}{n})}} = (1 + \frac{1}{n})^{n + 1} : = b_{n} .$

Es genügt zu zeigen, daß die Folge $(b_{n})$ streng monoton fällt.

g.z.z.: $\frac{b_{n}}{b_{n + 1}} > 1$ (denn alle $b_{n}$ sind positiv).

Der Beweis hierzu verläuft ähnlich wie für $(a_{n})$ , er wird als Übungsaufgabe gestellt.

Damit haben wir

$b_{1} = (1 + \frac{1}{1})^{2} = 4 \geq b_{n}$ für jedes $n$ .

Also

$2 \leq a_{n} < a_{n + 1} < b_{n + 1} < b_{n} \leq 4 .$

Dann ist $(a_{n})$ monoton wachsend und beschränkt, also konvergent und $(b_{n})$ monoton fallend und beschränkt, und somit auch konvergent.

Folglich existieren Zahlen $e$ und $e^{'}$ , so daß

$lim (1 + \frac{1}{n})^{n} = e und lim (1 + \frac{1}{n})^{n + 1} = e^{'} .$

Behauptung: $e = e^{'} .$

Annahme: $e \neq e^{'} .$

Dann ist $ε : = | e - e^{'} | > 0,$ und folglich gilt für hinreichend große $n$

$| e - e^{'} | = | e - a_{n} + a_{n} - b_{n} + b_{n} - e^{'} | \leq \underset{< \frac{ε}{3}}{\underset{︸}{| e - a_{n} |}} + | a_{n} - b_{n} | + \underset{< \frac{ε}{3}}{\underset{︸}{| b_{n} - e^{'} |}}$

$< \frac{2 ε}{3} + | a_{n} - b_{n} | .$

Schließlich gilt

$| a_{n} - b_{n} | = | (1 + \frac{1}{n})^{n} - (1 + \frac{1}{n})^{n + 1} | = (1 + \frac{1}{n})^{n} \cdot | 1 - (1 - \frac{1}{n}) |$

$= \underset{\leq 4}{\underset{︸}{(1 + \frac{1}{n})^{n}}} \cdot \frac{1}{n} \leq 4 \cdot \frac{1}{n} < \frac{ε}{3},$ falls $\frac{12}{ε} < n .$

Folglich ist $ε = | e - e^{'} | < ε$ PICT !

Also $e = e^{'} .$

Bemerkung. Wegen $2 \leq a_{n} < e = e^{'} < b_{n} \leq 4$ ist $(1 + \frac{1}{n})^{n} < e < (1 + \frac{1}{n})^{n + 1};$

folglich läßt sich $e$ beliebig genau durch rationale Zahlen annähern: $e \approx 2, 7183 \dots$ , allerdings ist $e$ selbst nicht rational.

Satz 3.9 $($ Cauchysches Konvergenzkriterium $)$ Eine Folge $(a_{n})$ ist konvergent (in IR) gdw

für jedes $ε > 0$ ein $n_{0}$ existiert, so daß für jedes $m, n \geq n_{0}$ gilt $:$ $| a_{n} - a_{m} | < ε .$

Beweis. ( $\to$ ) Sei $(a_{n})$ konvergent, $a_{n} \to a .$

Nach Definition existiert für $ε > 0$ ein $n_{0}$ , so daß für $n \geq n_{0}$ stets gilt: $| a_{n} - a | < \frac{ε}{2} .$ Folglich ist

$| a_{n} - a_{m} | = | a_{n} - a + a - a_{m} | \leq \underset{< \frac{ε}{2}}{\underset{︸}{| a_{n} - a |}} + \underset{< \frac{ε}{2}}{\underset{︸}{| a - a_{m} |}} < ε$ für $m, n \geq n_{0} .$

( $\leftarrow$ ) Wir zeigen zunächst, daß $(a_{n})$ beschränkt ist.

Es sei $ε = 1 .$ Dann existiert ein $n_{0}$ , so daß $| a_{n} - a_{m} | < 1$ für jedes $m, n \geq n_{0} .$ Für $m = n_{0}$ ist insbesondere $| a_{n} - a_{n_{0}} | < 1 .$

Wir wählen $d = max {| a_{i} - a_{n_{0}} | : i = 0, \dots, n_{0} - 1} .$

Dann gilt für beliebige $n$

$| a_{n} | \leq | a_{n} - a_{n_{0}} + a_{n_{0}} | \leq | a_{n} - a_{n_{0}} | + | a_{n_{0}} | < 1 + d + | a_{n_{0}} | : = c .$

Folglich ist $(a_{n})$ beschränkt. Damit besitzt $(a_{n})$ einen Häufungspunkt $a$ und eine konvergierende Teilfolge $(a_{n_{i}})$ mit $a_{n_{i}} \underset{i \to \infty}{\to} a .$ (Korollar zu Satz 3.6; Satz 3.4)

Nach Definition gilt dann: Für jedes $ε > 0$ existiert ein $m_{0}$ , so daß für jedes $n_{i} \geq m_{0}$ gilt: $| a_{n_{i}} - a | < \frac{ε}{2} .$

Nach Voraussetzung existiert ein $m_{0}^{'}$ , so daß für jedes $m, n \geq m_{0}^{'}$ gilt: $| a_{m} - a_{n} | < \frac{ε}{2} .$

Für $n, n_{i} \geq m_{0}, m_{0}^{'}$ gilt dann

$| a_{n} - a | \leq \underset{< \frac{ε}{2}}{\underset{︸}{| a_{n} - a_{n_{i}} |}} + \underset{< \frac{ε}{2}}{\underset{︸}{| a_{n_{i}} - a |}} < ε .$

$Also a_{n} \to a .$ <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>

Definition. (Cauchyfolge oder Fundamentalfolge) $(a_{n})$ ist eine Cauchyfolge (oder Fundamentalfolge) =Df

Für jedes

ε > 0

existiert ein

n_{0}

, so daß für jedes

n, m \geq n_{0}

gilt:

| a_{n} - a_{m} | < ε .

Korollar. Cauchyfolgen konvergieren in $I R .$

Beweis. Der Beweis ist nach Satz 3.9 trivial. <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>

Da Cauchyfolgen in $I R$ konvergieren, nennt man $I R$ auch vollständig (bez. der Konvergenz von Cauchyfolgen). In diesem Sinne ist $l Q$ nicht vollständig, denn $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ ist z.B. eine Cauchyfolge in $l Q$ , aber sie ist in $l Q$ nicht konvergent. Wir betrachten jetzt wieder Folgen in $I R .$

Satz 3.10 $($ Eigenschaften konvergenter Folgen $)$ Es seien $(a_{n}), (b_{n})$ konvergente Folgen und $c, d$ seien reelle Zahlen. Dann gilt $:$ $(1)$ $(c \cdot a_{n})$ ist konvergent und $lim (c \cdot a_{n}) = c \cdot lim a_{n} .$ $(2)$ $(a_{n} + b_{n})$ ist konvergent und $lim (a_{n} + b_{n}) = lim a_{n} + lim b_{n} .$ $(3)$ $(a_{n} \cdot b_{n})$ ist konvergent und $lim (a_{n} \cdot b_{n}) = lim a_{n} \cdot lim b_{n} .$ $(4)$

Sind alle

b_{n} \neq 0

und ist

lim b_{n} \neq 0,

dann ist

(\frac{1}{b_{n}})

konvergent und

lim \frac{1}{b_{n}} = \frac{1}{lim b_{n}} .

(4^{'})

Sind alle

b_{n} \neq 0

und ist

lim b_{n} \neq 0,

dann ist

(\frac{a_{n}}{b_{n}})

konvergent und

lim \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{lim a_{n}}{lim b_{n}} .

(5)

(| a_{n} |)

ist konvergent und

lim | a_{n} | = | lim a_{n} | .

(6)

Ist

a_{n} \leq b_{n}

für jedes

n,

dann ist

lim a_{n} \leq lim b_{n} .

Ist insbesondere

a_{n} \leq d

bzw.

d \leq b_{n}

für jedes

n,

dann ist

lim a_{n} \leq d

bzw.

d \leq lim b_{n} .

Beweis. Es sei $lim a_{n} = a, lim b_{n} = b$ und sei $ε > 0 .$ (1). Es ist $| c \cdot a_{n} - c \cdot a | = | c | \cdot | a_{n} - a | : = (⋆)$ . 1. Fall: $c = 0 .$ $\Rightarrow (⋆) < ε$ für jedes $n \geq 0 .$ 2. Fall: $c \neq 0 .$ $\Rightarrow | a_{n} - a | < \frac{ε}{| c |}$ für fast alle $n .$ Damit erhält man

$| c \cdot a_{n} - c \cdot a | = | c | \cdot | a_{n} - a | < | c | \cdot \frac{ε}{| c |} = ε$ für fast alle $n .$

In jedem Fall ist also

$lim (c \cdot a_{n}) = c \cdot a = c \cdot lim a_{n} .$

(2). Nach Voraussetzung gilt: $a_{n} \to a, b_{n} \to b .$ Folglich existiert ein $n_{0},$ so daß für jedes $n \geq n_{0}$ :

$| a_{n} - a | < \frac{ε}{2} und | b_{n} - b | < \frac{ε}{2} .$

Daraus erhält man

$| (a_{n} + b_{n}) - (a + b) | = | a_{n} - a + b_{n} - b | \leq | a_{n} - a | + | b_{n} - b | < ε$

für $n \geq n_{0} .$

Also

$lim (a_{n} + b_{n}) = a + b = lim a_{n} + lim b_{n} .$

(3). Es soll $| a_{n} \cdot b_{n} - a \cdot b |$ durch $ε$ „abgeschätzt“ werden, und zwar für fast alle $n .$ Es ist bekannt, daß $| a_{n} - a |, | b_{n} - b |$ „klein“ werden für hinreichend große $n$ . Wir beginnen zu rechnen und versuchen ein $n_{0}$ so zu finden, daß die Abschätzung gelingt.

$\| a_{n} b_{n} - a b \|$	=	$\| a_{n} b_{n} - a_{n} b + a_{n} b - a b \|$
	$\leq$	$\| a_{n} b_{n} - a_{n} b \| + \| a_{n} b - a b \|$
	=	$\underset{?}{\underset{︸}{\| a_{n} \|}} \cdot \underset{k l e i n}{\underset{︸}{\| b_{n} - b \|}} + \| b \| \cdot \underset{k l e i n}{\underset{︸}{\| a_{n} - a \|}} : = (⋆ ⋆)$

Nach Voraussetzung ist $(a_{n})$ konvergent, also auch beschränkt durch ein $c > 0,$ d.h., $| a_{n} | \leq c .$

Daraus ergibt sich

$| a_{n} | \cdot | b_{n} - b | \leq c \cdot | b_{n} - b | < \frac{ε}{2} \Leftrightarrow | b_{n} - b | < \frac{ε}{2 c} .$

Dies gilt aber nach (1) für hinreichend große $n .$

Analog gilt auch $| b | \cdot | a_{n} - a | < \frac{ε}{2}$ für große $n .$

Damit erhält man insgesamt $(⋆ ⋆) < ε .$

(4). Um diese Behauptung beweisen zu können, benötigen wir zunächst ein

Lemma. Wenn $lim b_{n} = b \neq 0,$ dann existiert ein $m_{0},$ so daß für jedes $n \geq m_{0}$ gilt : $| b_{n} | \geq \frac{| b |}{2} .$

Beweis. Sei $ε = \frac{| b |}{2} .$ Wegen $b_{n} \to b$ gibt es ein $m_{0},$ so daß für jedes $n \geq m_{0}$ gilt: $| b_{n} - b | < ε = \frac{| b |}{2} .$

Weiterhin gilt:

$| | b_{n} | - | b | | \leq | b_{n} - b | < \frac{| b |}{2} \Rightarrow$

$- \frac{| b |}{2} < | b_{n} | - | b | < \frac{| b |}{2} \Rightarrow$

$\frac{| b |}{2} < | b_{n} | < \frac{3}{2} \cdot | b | \Rightarrow$

$\frac{1}{| b_{n} |} \leq \frac{2}{| b |} .$ <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>

Beweis zu (4). Es ist

$\| \frac{1}{b_{n}} - \frac{1}{b} \|$	=	$\| \frac{b - b_{n}}{b_{n} b} \| = \frac{1}{\| b_{n} \| \cdot \| b \|} \cdot \| b - b_{n} \|$
	=	$\underset{\leq \frac{2}{\| b \|}}{\underset{︸}{\frac{1}{\| b_{n} \|}}} \cdot \frac{1}{\| b \|} \cdot \| b_{n} - b \| \leq \frac{2}{\| b \|^{2}} \cdot \| b_{n} - b \| : = (⋆ ⋆ ⋆) .$

Wegen $b_{n} \to b$ existiert für $ε > 0$ ein $n_{0},$ so daß für jedes $n \geq n_{0}$ gilt:

$| b_{n} - b | < \frac{ε}{2} \cdot | b |^{2} . \Rightarrow (⋆ ⋆ ⋆) < ε$ für $n \geq n_{0} .$

Also $lim \frac{1}{b_{n}} = \frac{1}{b} = \frac{1}{lim b_{n}} .$

$(4^{'})$ . Wegen $b_{n} \neq 0, b_{n} \to b$ und $b \neq 0$ gilt $\frac{1}{b_{n}} \to b .$ Da auch $a_{n} \to a$ erhält man mit (3)

$\frac{a_{n}}{b_{n}} = a_{n} \cdot \frac{1}{b_{n}} \to a \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b} \Rightarrow$

$lim \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{a}{b} = \frac{lim a_{n}}{lim b_{n}} .$

(5). Es ist $| | a_{n} | - | a | | \leq | a_{n} - a | < ε$ für hinreichend große $n .$ $\Rightarrow | a_{n} | \to | a | .$ Also $lim | a_{n} | = | a | = | lim a_{n} | .$

(6). Sei $c_{n} : = b_{n} - a_{n} (\geq 0) .$ g.z.z.: $lim c_{n} \geq 0 .$ Denn dann gilt ja

$0 \leq lim c_{n} = lim (b_{n} - a_{n}) = lim b_{n} - lim a_{n} \Rightarrow$

$lim a_{n} \leq lim b_{n} .$

Annahme: $lim c_{n} : = c < 0 .$

Sei $ε = \frac{| c |}{2} = - \frac{c}{2} .$ Dann liegen in $U_{ε} (c)$ fast alle $c_{n} . \Rightarrow$

$c - ε < c_{n} < c + ε$ , also $c - (- \frac{c}{2}) < c_{n} < c + (- \frac{c}{2})$ $\Rightarrow$

$\frac{3}{2} \cdot c < c_{n} < \frac{c}{2} < 0$ PICT !

Ist speziell $a_{n} \leq d,$ so ist $lim a_{n} \leq lim d = d$ ( $d$ als konstante Folge betrachtet).

Analoges gilt für $d \leq b_{n} .$ <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>

Definition. (bestimmte Divergenz) Es sei $(a_{n})$ eine Folge von reellen Zahlen.

(a_{n})

divergiert bestimmt gegen

+ \infty

(bzw. gegen

- \infty

) =Df

Für jedes

c \in I R

existiert ein

n_{0}

, so daß für jedes

n \geq n_{0}

gilt:

c \leq a_{n}

(bzw.

a_{n} \leq c

Bez.:

lim a_{n} = + \infty

bzw.

lim a_{n} = - \infty

oder auch

a_{n} \to \infty

bzw.

a_{n} \to - \infty

Beispiel. $(a_{n}) = (2^{n})$ ist bestimmt divergent gegen $+ \infty$ .

Denn ist $c \in I R$ , dann existiert ein $n_{0}$ mit $c \leq n_{0} \leq 2^{n_{0}}$ . Folglich gilt für $n \geq n_{0} : c \leq n_{0} \leq 2^{n_{0}} \leq 2^{n} = a_{n} .$ Aber: $(a_{n}) = ({(- 2)}^{n})$ ist divergent, jedoch nicht bestimmt divergent.

Satz 3.11 Ist $(a_{n})$ bestimmt divergent und $(b_{n})$ beschränkt, dann ist $(a_{n} + b_{n})$ bestimmt divergent.

Beweis. Übungsaufgabe ! <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>

3.2 Reelle Zahlen als Grenzwerte von Folgen rationaler Zahlen

Satz 3.12 Zu jeder reellen Zahl $a$ existiert eine Cauchyfolge $(a_{n})$ von rationalen Zahlen, so daß $lim a_{n} = a .$

Beweis. (Idee) Sei $a \in I R .$ Man konstruiert eine Intervallschachtelung $([a_{n}, b_{n}])$ von rationalen Zahlen mit $a_{n} \leq a \leq b_{n}$ und $b_{n} - a_{n} = \frac{1}{2^{n}} (b_{0} - a_{0}) .$ Dazu seien $a_{0}, b_{0}$ beliebige rationale Zahlen mit $a_{0} < a \leq b_{0} .$ Weiterhin seien $a_{n}, b_{n}$ (nach Induktionsvoraussetzung) schon mit den geforderten Eigenschaften gegeben. Ist $c_{n + 1} = \frac{a_{n} + b_{n}}{2},$ dann ist $c_{n + 1} \in l Q .$ Jetzt definieren wir $a_{n + 1}, b_{n + 1}$ wie folgt:

$a_{n + 1} : = c_{n + 1} und b_{n + 1} : = b_{n},$ falls $c_{n + 1} < a$ und $a_{n + 1} : = a_{n} und b_{n + 1} : = c_{n + 1},$ falls $c_{n + 1} \geq a .$

Behauptung: $a_{n} \to a$ (und $b_{n} \to b$ ).

Es ist $a_{n} \leq a \leq b_{n} \Rightarrow a - a_{n} \leq b_{n} - a_{n} < \frac{1}{2^{n}} (b_{0} - a_{0}) \underset{n \to \infty}{\to} 0 \Rightarrow a_{n} \to a .$ <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>

Definition. (grenzwertgleich) Es seien $(a_{n}), (b_{n})$ Cauchyfolgen. $(a_{n})$ und $(b_{n})$ sind grenzwertgleich =Df

(a_{n} - b_{n})

ist eine Nullfolge.

$(1 + \frac{1}{n})^{n}, (1 + \frac{1}{n})^{n + 1}$ sind z.B. grenzwertgleiche Cauchyfolgen im Bereich der rationalen Zahlen.

Bemerkung. „Grenzwertgleich“ ist eine Äquivalenzrelation in der Menge aller Cauchyfolgen von rationalen Zahlen. (Beweis mit Satz 3.10 trivial).

Dabei ist der Begriff Äquivalenzrelation wie folgt definiert:

Es sei $M$ eine Menge und $~$ eine zweistellige Relation in $M$ . $~$ heißt Äquivalenzrelation in $M$ =Df

Für alle

a, b, c \in M

gilt: (1)

a ~ a

, (Reflexivität) (2) wenn

a ~ b

und

b ~ c

, so

a ~ c

, (Transitivität) (3) wenn

a ~ b

, so

b ~ a

. (Symmetrie)

Ein Mengensystem $S = {M_{i} : i \in I}$ mit einer Indexmenge $I$ heißt Klasseneinteilung oder Partition oder Zerlegung von $M$ =Df

(1)

M_{i} \subseteq M

und

M_{i} \neq \emptyset

für alle

i \in I .

(2)

⋃_{i \in I} M_{i} = M

, und für jedes

i, j \in I

mit

i \neq j

ist

M_{i} \cap M_{j} = \emptyset .

(vgl. z.B. Literaturangabe [4], Teil I, Seiten 43 – 44.)

Eine Äquivalenzrelation $~$ in $M$ zieht eine Klasseneinteilung von $M$ nach sich; jeweils äquivalente Elemente gehören der gleichen Klasse an (dies müßte natürlich bewiesen werden). Die so entstehenden Klassen heißen auch Äquivalenzklassen. Ist $M$ die Menge aller Cauchyfolgen von rationalen Zahlen und $~$ die Grenzwertgleichheit in $M$ , dann wird $M$ in Äquivalenzklassen grenzwertgleicher Cauchyfolgen zerlegt. Damit sind neue mathematische Objekte entstanden, die (wie Dedekindsche Schnitte) ebenfalls als reelle Zahlen interpretiert werden können.

Definition. (reelle Zahlen) $a$ ist eine reelle Zahl =Df

Es gibt eine Cauchyfolge

(a_{n})

von rationalen Zahlen, so daß

a

die Äquivalenzklasse aller Cauchyfolgen von rationalen Zahlen ist, die mit

(a_{n})

grenzwertgleich sind.

Bez.:

a = ⟨ a_{n} ⟩ = {(b_{n}) : b_{n} \in l Q und (a_{n} - b_{n}) ist eine Nullfolge}

Jede Cauchyfolge $(b_{n})$ mit $(b_{n}) \in a = ⟨ a_{n} ⟩$ ist ein Repräsentant der Klasse $a$ . Die Menge der betrachteten Äquivalenzklassen heißt Menge der reellen Zahlen und wird mit $I R$ bezeichnet.

Beispielsweise ist $e = {(b_{n}) : b_{n} \in l Q und (b_{n}) ist mit ((1 + \frac{1}{n})^{n}) grenzwertgleich} .$

Damit $I R$ ein geordneter Körper wird, benötigen wir noch Rechenoperationen $+$ und $\cdot$ und eine Ordnungsrelation $<$ in $I R .$ Die Definitionen der Operationen und der Relation erfolgen mit Hilfe von Repräsentanten.

Es seien $a, b$ reelle Zahlen. Folglich gibt es Cauchyfolgen $(a_{n}), (b_{n})$ in $l Q$ , so daß $a = ⟨ a_{n} ⟩, b = ⟨ b_{n} ⟩$ . Dann sei:

$a \pm b = ⟨ a_{n} ⟩ \pm ⟨ b_{n} ⟩$ =Df $⟨ a_{n} \pm b_{n} ⟩$ für alle $n,$

$a \cdot b = ⟨ a_{n} ⟩ \cdot ⟨ b_{n} ⟩$ =Df $⟨ a_{n} \cdot b_{n} ⟩$ für alle $n,$ und

$a < b \Leftrightarrow ⟨ a_{n} ⟩ < ⟨ b_{n} ⟩$ =Df $⟨ a_{n} ⟩ \neq ⟨ b_{n} ⟩$ und $a_{n} < b_{n}$ für fast alle $n .$

$(⟨ a_{n} ⟩ \neq ⟨ b_{n} ⟩$ bedeutet, daß $(a_{n})$ und $(b_{n})$ nicht grenzwertgleich sind.)

$- ⟨ a_{n} ⟩$ =Df $⟨ - a_{n} ⟩,$

$\frac{1}{⟨ a_{n} ⟩}$ =Df $⟨\frac{1}{a_{n}}⟩$ ; Voraussetzung: $a_{n} \neq 0$ und $(a_{n})$ ist keine Nullfolge.

Die Definitionen sind unabhängig von der Wahl der Repräsentanten; dies bedeutet z.B. für die Addition: Sind $(a_{n}^{'})$ und $(b_{n}^{'})$ andere Repräsentanten von $a$ bzw. $b$ , dann muß dies zum gleichen Ergebnis führen, d.h.,

wenn $(a_{n}) ~ (a_{n}^{'})$ und $(b_{n}) ~ (b_{n}^{'}),$ so ist $(a_{n} + b_{n}) ~ (a_{n}^{'} + b_{n}^{'}) .$

Dies bedeutet dann nämlich, daß $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩ = ⟨ a_{n}^{'} + b_{n}^{'} ⟩,$ womit die gleiche reelle Zahl festgelegt ist. Analog verfährt man mit den anderen Fällen.

Mit den so eingeführten Funktionen $+$ und $\cdot$ und der Relation $<$ bildet die Menge der reellen Zahlen (= Menge der entsprechenden Äquivalenzklassen) einen archimedisch geordneten Körper, in dem das Intervallschachtelungsaxiom gilt. Dieser Körper ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt! (Dies hätte natürlich alles bewiesen werden müssen.)

Abschließend betrachten wir noch Funktionenfolgen. Dazu sei $M \subseteq I R$ und für jedes $n \in I N$ sei $f_{n} : I R \to I R$ eine in $M$ definierte Funktion. Weiterhin sei auch $f : I R \to I R$ in $M$ definiert.

Definition. (Konvergenz von Funktionenfolgen) (1) Die Funktionenfolge $(f_{n})$ konvergiert an der Stelle $a \in M$ gegen $b$

=Df

lim_{n \to \infty} f_{n} (a) = b

(2) $(f_{n})$ konvergiert in $M$ gegen die Funktion $f$ =Df

Für jedes

a \in M

gilt:

lim_{n \to \infty} f_{n} (a) = f (a)

, (d.h., für jedes fixierte

a \in M

konvergiert die Zahlenfolge

(f_{n} (a))

gegen die Zahl

f (a)

; diese Art Konvergenz nennen wir auch punktweise Konvergenz).

Bez.:

lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = f (x) .

(3) $(f_{n})$ konvergiert in $M$ =Df

Es existiert eine Funktion

f : I R \to I R

, so daß

(f_{n})

M

gegen

f

konvergiert.

Beispiel. Es sei $M = [0, 1]$ und $f_{n} (x) = x^{n} .$

Konvergenz

PICT

Für jedes fixierte $a \in [0, 1]$ mit $a < 1$ gilt offenbar $a^{n} \to 0$ ; für $a = 1$ ist $a^{n} = 1$ , also $a^{n} \to 1 .$

Folglich ist

$lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = f (x)$ mit $f (x) = {\begin{array}{l} 0 für 0 \leq x < 1 \\ 1 für x = 1. \end{array}$

Definition. (gleichmäßige Konvergenz) Die Funktionenfolge $(f_{n})$ konvergiert in $M$ gleichmäßig gegen $f$ =Df

Für jedes

ε > 0

existiert ein

n_{0}

, so daß für jedes

n \geq n_{0}

und für alle

x \in M

gilt:

| f_{n} (x) - f (x) | < ε

Die folgende Abbildung veranschaulicht, daß sich bei der gleichmäßigen Konvergenz für vorgegebenes $ε > 0$ die Funktionen $f_{n} (x)$ von $f (x)$ an jeder Stelle $x \in M = [a, b]$ um weniger als $ε$ unterscheiden, falls $n$ hinreichend groß ist; man sagt dafür auch, daß die Funktionen $f_{n} (x)$ in dem $ε$ -Streifen von $f (x)$ liegen.

gleichmäßige Konvergenz

Anwendung: Oft approximiert man eine aufwändig zu berechnende Grenzfunktion $f$ über einem bestimmten Bereich durch einfacher zu berechnende Funktionen $f_{n}$ . Konvergiert dabei die Folge $(f_{n})$ gleichmäßig gegen $f$ , so kann man $f$ mit vorgegebener Genauigkeit $ε$ für den ganzen Bereich durch eine der Funktionen $f_{n}$ ${ersetzen.}_{}$

Die im vorhergehenden Beispiel betrachtete Funktionenfolge $f_{n} (x) = x^{n}$ ist nicht gleichmäßig konvergent in $[0, 1]$ . Angenommen doch, dann gibt es für $ε = \frac{1}{2}$ ein $n_{0}$ , so daß für jedes $n \geq n_{0}$ und für alle $x \in [0, 1]$ gilt: $| f_{n} (x) - f (x) | < \frac{1}{2} .$ Dies gilt insbesondere für $m = n_{0}$ und für alle $x \in [0, 1)$ ; hier ist zusätzlich $f (x) = 0$ . Also $| f_{n} (x) | < \frac{1}{2}$ für alle $x$ mit $0 \leq x < 1$ . Wir wählen jetzt $x$ „hinreichend dicht“ bei 1; $x : = 1 - δ$ mit $δ > 0$ . Dann gilt nach der Bernoullischen Ungleichung: $x^{m} = {(1 - δ)}^{m} \geq 1 - m δ$ ( $m$ fixiert). Sei $δ$ so klein, daß $m δ < \frac{1}{2}$ , dann ist $\frac{1}{2} < x^{m} = | f_{m} (x) - f (x) | < \frac{1}{2}$ PICT !

In den späteren Abschnitten über Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit von Funktionen werden wir uns ausführlicher mit den Eigenschaften der Grenzfunktion befassen.

Schwerpunkte für die Wiederholung von Kapitel 3

Definitionen: Folge, Konvergenz, Grenzwert oder Limes, Nullfolge, Beschränktheit von Folgen;
Satz 3.1: Eine Folge besitzt höchstens einen Grenzwert;
Satz 3.3: Konvergente Folgen sind beschränkt;
Definitionen: Häufungspunkt einer Folge, Teilfolge;
Satz 3.4: Jede beschränkte Folge besitzt einen Häufungspunkt;
Satz 3.6: Ist $a$ Häufungspunkt von $(a_{n})$ , dann existiert eine gegen $a$ konvergente Teilfolge von $(a_{n})$ ;
Definitionen: $lim_{_}, lim^{‾}$ , Monotonie bei Zahlenfolgen;
Satz 3.8: Monotone Folgen sind konvergent gdw sie beschränkt sind;
Satz 3.9 (Cauchysches Konvergenzkriterium);
Definition: Cauchyfolge;
Satz 3.10: (Eigenschaften konvergenter Folgen := Grenzwertsatz);
Definitionen: Bestimmte Divergenz; Konvergenz und gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen;
Definition der reellen Zahlen mit Hilfe von Cauchyfolgen rationaler Zahlen (Überblick).

$\| a_{n} b_{n} - a b \|$	=	$\| a_{n} b_{n} - a_{n} b + a_{n} b - a b \|$
	$\leq$	$\| a_{n} b_{n} - a_{n} b \| + \| a_{n} b - a b \|$
	=	$\underset{?}{\underset{︸}{\| a_{n} \|}} \cdot \underset{k l e i n}{\underset{︸}{\| b_{n} - b \|}} + \| b \| \cdot \underset{k l e i n}{\underset{︸}{\| a_{n} - a \|}} : = (⋆ ⋆)$