Beispiele. 3. Sei $(a_{n}) = ({(- 1)}^{n})$ . Behauptung: $(a_{n})$ ist divergent (in $I R$ ). Annahme: $(a_{n})$ konvergiert gegen $a \in I R$ . Nach Definition der Konvergenz erhält man: Für jedes $ε > 0$ existiert ein $n_{0}$ , so daß für jedes $n \geq n_{0}$ gilt: $| a_{n} - a | < ε .$ Dies gilt insbesondere für $ε = 1 .$ Für $a$ sind zwei Fälle möglich: $a \geq 0$ oder $a < 0$ . Fall 1. $a \geq 0 .$

Ist $n$ ungerade, dann ist $a_{n} = - 1 .$ Folglich ist

$1 = ε > | a_{n} - a | = | - 1 - a | = | 1 + a | \geq 1,$ PICT !

Fall 2. $a < 0 .$

Ist $n$ gerade, dann ist $a_{n} = 1$ und damit gilt

$1 = ε > | a_{n} - a | = | 1 + \underset{> 0}{\underset{︸}{(- a)}} | > 1$ , PICT !

Folglich ist $(a_{n})$ nicht konvergent.