Beweis. Angenommen, $a_{n} \to a$ und $a_{n} \to b$ und $a \neq b$ . Dann ist $| a - b | > 0 .$ Nach Definition der Konvergenz gilt:

Für jedes $ε > 0$ existiert ein $n_{0}$ , so daß für jedes $n \geq n_{0} : | a_{n} - a | < ε$ , und

es existiert ein $m_{0}$ , so daß für jedes $n \geq m_{0} : | a_{n} - b | < ε .$

Das gilt speziell für $ε = \frac{| a - b |}{2} .$

Ist $k = max {n_{0}, m_{0}},$ dann gilt für $n \geq k$

$| a - b | = | a - a_{n} + a_{n} - b | \leq | a - a_{n} | + | a_{n} - b | < 2 ε .$

Also

$| a - b | < 2 ε = 2 \cdot \frac{| a - b |}{2} = | a - b |$ PICT ! <mi
>P</mi><mi
>I</mi><mi
>C</mi><mi
>T</mi>