Beispiele.

2. Es sei $\left|a\right|<1$ und $\left(a_n\right)=\left(a^n\right).$ Um nachzuweisen, daß $\left(a^n\right)$ eine Nullfolge ist, g.z.z.: Wenn $\epsilon >0$, dann existiert ein $n_0$, so daß für jedes $n\ge n_0:|a^n-0|<\epsilon .$

Sei $\epsilon >0.$ Für $a=0$ ist die Behauptung trivial. Es sei jetzt $a\ne 0.$ Wegen $\left|a\right|<1$ ist $\frac{1}{\left|a\right|}>1.$

Nach dem Korollar zur Bernoullischen Ungleichung existiert für $\frac{1}{\epsilon }$ eine natürliche Zahl $n_0$, so daß $\left(\right.\frac{1}{\left|a\right|}{\left)\right.}^{n_0}>\frac{1}{\epsilon }.$ Folglich ist $\frac{1}{|a_0{|}^{n_0}}>\frac{1}{\epsilon },$ also $|a{|}^{n_0}<\epsilon .$ Für $n\ge n_0$ gilt

damit $|a^n-0|=|a{|}^n\le |a{|}^{n_0}<\epsilon .$