Beispiel. $\left(a_n\right)=\left(\right.\frac{100^n}{n!}\left)\right.$ ist beschränkt.

     $\left(\right.\frac{100^n}{n!}\left)\right.=\left(\right.\underset{1}{\underbrace{\frac{100^0}{0!}}},\underset{100}{\underbrace{\frac{100^1}{1!}}},\underset{5000}{\underbrace{\frac{100^2}{2!}}},\dots ,\frac{100^{100}}{100!},\frac{100^{101}}{101!},\dots \left)\right.$

$0$ ist offenbar eine untere Schranke von $\left(a_n\right)$. Es bleibt noch nachzuweisen, daß es auch eine obere Schranke gibt, obwohl es aufgrund der ersten Glieder nicht so zu sein scheint.

Für $n\ge 100$ und $n=100+k$ ist

     $a_n=\frac{100^{100+k}}{\left(100+k\right)!}=\frac{100^{100}}{100!}\cdot \underset{<1}{\underbrace{\frac{100^k}{101\cdot 1012\cdots \left(100+k\right)}}}\le \frac{100^{100}}{100!}=a_{100}.$

Für $n<100$ ist offensichtlich $a_n\le a_{100}.$ Folglich ist $a_{100}$ eine obere Schranke von $\left(a_n\right).$

Bemerkung. $\left(\right.\frac{100^n}{n!}\left)\right.$ ist sogar eine Nullfolge. Denn für $n=100+k$ und $k\ge 0$ ist

      $a_n=\frac{100^{100+k}}{\left(100+k\right)!}=\underset{:=c}{\underbrace{\frac{100^{100}}{100!}}}\cdot \underset{\le \frac{100}{100+k}}{\underbrace{\frac{100^k}{101\cdot 102\cdots \left(100+k\right)}}}\le c\cdot \frac{100}{100+k};$

und für beliebiges $\epsilon >0$ ist dann

      $\frac{c\cdot 100}{100+k}<\epsilon \iff \frac{c\cdot 100}{\epsilon }<100+k=n,$

d.h., für fast alle $n$ gilt $|a_n-0|=\left|a_{100+k}\right|<\epsilon .$