Beweis. Es sei $(a_{n})$ konvergent gegen $a$ . Für $ε = 1$ existiert dann ein $n_{0}$ , so daß für jedes $n \geq n_{0}$ gilt: $| a_{n} - a | < ε = 1 .$ Es sei $d : = max {| a_{0} - a | : n < n_{0}}, \Rightarrow | a_{n} - a | \leq d$ für alle $n < n_{0} .$ Für beliebige $n$ gilt dann: $| a_{n} - a | < 1 + d$ . Hieraus erhält man

| a_{n} | = | a_{n} - a + a | \leq \underset{< 1 + d}{\underset{︸}{| a_{n} - a |}} + | a | < 1 + d + | a | : = c .

Folglich ist $(a_{n})$ beschränkt. <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>