Beispiel. (Definition der Eulerschen Zahl $e$ )

Sei $a_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} .$

Behauptung: $(a_{n})$ ist streng monoton wachsend und beschränkt. (Dann ist $(a_{n})$ nach Satz 3.8 konvergent.)

z.z.:

a_{n} < a_{n + 1}

für jedes

n

und 2.

(a_{n})

ist beschränkt.

Zu 1. g.z.z.: $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} > 1$ (denn alle $a_{n}$ sind positiv).

Es ist

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{(1 + \frac{1}{n + 1})^{n + 1}}{(1 + \frac{1}{n})^{n}} = \frac{(\frac{n + 2}{n + 1})^{n + 1}}{(\frac{n + 1}{n})^{n}}$

$= \frac{n + 2}{n + 1} \cdot \frac{(\frac{n + 2}{n + 1})^{n}}{(\frac{n + 1}{n})^{n}} = \frac{n + 2}{n + 1} \cdot (\frac{n (n + 2)}{{(n + 1)}^{2}})^{n}$

$= \frac{n + 2}{n + 1} \cdot (\frac{{(n + 1)}^{2} - 1}{{(n + 1)}^{2}}) = \frac{n + 2}{n + 1} \cdot \underset{\geq 1 - \frac{n}{{(n + 1)}^{2}}}{\underset{︸}{(1 - \frac{1}{{(n + 1)}^{2}})^{n}}}$

$\geq \frac{n + 2}{n + 1} \cdot (1 - \frac{n}{{(n + 1)}^{2}})$ (nach der Bernoullischen Ungleichung)

$= \frac{n + 2}{n + 1} \cdot \frac{n^{2} + n + 1}{n^{2} + 2 n + 1} > 1,$ denn

$\frac{n + 2}{n + 1} \cdot \frac{n^{2} + n + 1}{n^{2} + 2 n + 1} > 1 \Leftrightarrow (n + 2) (n^{2} + n + 1) > (n + 1) (n^{2} + 2 n + 1)$

$\Leftrightarrow n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 2 > n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1$ (und die letzte Ungleichung gilt offensichtlich).

Also $a_{n} < a_{n + 1}$ für jedes $n$ , und damit ist $(a_{n})$ streng monoton wachsend.

Zu 2. $(a_{n})$ ist beschränkt.

Offenbar ist $a_{1} = (1 + \frac{1}{1})^{1} = 2 \leq a_{n}$ für jedes $n$ .

Weiterhin ist

$a_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} < (1 + \frac{1}{n})^{n} \cdot \underset{> 1}{\underset{︸}{(1 + \frac{1}{n})}} = (1 + \frac{1}{n})^{n + 1} : = b_{n} .$

Es genügt zu zeigen, daß die Folge $(b_{n})$ streng monoton fällt.

g.z.z.: $\frac{b_{n}}{b_{n + 1}} > 1$ (denn alle $b_{n}$ sind positiv).

Der Beweis hierzu verläuft ähnlich wie für $(a_{n})$ , er wird als Übungsaufgabe gestellt.

Damit haben wir

$b_{1} = (1 + \frac{1}{1})^{2} = 4 \geq b_{n}$ für jedes $n$ .

Also

$2 \leq a_{n} < a_{n + 1} < b_{n + 1} < b_{n} \leq 4 .$

Dann ist $(a_{n})$ monoton wachsend und beschränkt, also konvergent und $(b_{n})$ monoton fallend und beschränkt, und somit auch konvergent.

Folglich existieren Zahlen $e$ und $e^{'}$ , so daß

$lim (1 + \frac{1}{n})^{n} = e und lim (1 + \frac{1}{n})^{n + 1} = e^{'} .$

Behauptung: $e = e^{'} .$

Annahme: $e \neq e^{'} .$

Dann ist $ε : = | e - e^{'} | > 0,$ und folglich gilt für hinreichend große $n$

| e - e^{'} | = | e - a_{n} + a_{n} - b_{n} + b_{n} - e^{'} | \leq \underset{< \frac{ε}{3}}{\underset{︸}{| e - a_{n} |}} + | a_{n} - b_{n} | + \underset{< \frac{ε}{3}}{\underset{︸}{| b_{n} - e^{'} |}}

$< \frac{2 ε}{3} + | a_{n} - b_{n} | .$

Schließlich gilt

$| a_{n} - b_{n} | = | (1 + \frac{1}{n})^{n} - (1 + \frac{1}{n})^{n + 1} | = (1 + \frac{1}{n})^{n} \cdot | 1 - (1 - \frac{1}{n}) |$

$= \underset{\leq 4}{\underset{︸}{(1 + \frac{1}{n})^{n}}} \cdot \frac{1}{n} \leq 4 \cdot \frac{1}{n} < \frac{ε}{3},$ falls $\frac{12}{ε} < n .$

Folglich ist $ε = | e - e^{'} | < ε$ PICT !

Also $e = e^{'} .$