Beweis. ( $\to$ ) Sei $(a_{n})$ konvergent, $a_{n} \to a .$

Nach Definition existiert für $ε > 0$ ein $n_{0}$ , so daß für $n \geq n_{0}$ stets gilt: $| a_{n} - a | < \frac{ε}{2} .$ Folglich ist

$| a_{n} - a_{m} | = | a_{n} - a + a - a_{m} | \leq \underset{< \frac{ε}{2}}{\underset{︸}{| a_{n} - a |}} + \underset{< \frac{ε}{2}}{\underset{︸}{| a - a_{m} |}} < ε für m, n \geq n_{0}$ für $m, n \geq n_{0} .$

( $\leftarrow$ ) Wir zeigen zunächst, daß $(a_{n})$ beschränkt ist.

Es sei $ε = 1 .$ Dann existiert ein $n_{0}$ , so daß $| a_{n} - a_{m} | < 1$ für jedes $m, n \geq n_{0} .$ Für $m = n_{0}$ ist insbesondere $| a_{n} - a_{n_{0}} | < 1 .$

Wir wählen $d = max {| a_{i} - a_{n_{0}} | : i = 0, \dots, n_{0} - 1} .$

Dann gilt für beliebige $n$

$| a_{n} | \leq | a_{n} - a_{n_{0}} + a_{n_{0}} | \leq | a_{n} - a_{n_{0}} | + | a_{n_{0}} | < 1 + d + | a_{n_{0}} | : = c .$

Folglich ist $(a_{n})$ beschränkt. Damit besitzt $(a_{n})$ einen Häufungspunkt $a$ und eine konvergierende Teilfolge $(a_{n_{i}})$ mit $a_{n_{i}} \underset{i \to \infty}{\to} a .$ (Korollar zu Satz 3.6; Satz 3.4)

Nach Definition gilt dann: Für jedes $ε > 0$ existiert ein $m_{0}$ , so daß für jedes $n_{i} \geq m_{0}$ gilt: $| a_{n_{i}} - a | < \frac{ε}{2} .$

Nach Voraussetzung existiert ein $m_{0}^{'}$ , so daß für jedes $m, n \geq m_{0}^{'}$ gilt: $| a_{m} - a_{n} | < \frac{ε}{2} .$

Für $n, n_{i} \geq m_{0}, m_{0}^{'}$ gilt dann

| a_{n} - a | \leq \underset{< \frac{ε}{2}}{\underset{︸}{| a_{n} - a_{n_{i}} |}} + \underset{< \frac{ε}{2}}{\underset{︸}{| a_{n_{i}} - a |}} < ε .

$Also a_{n} \to a .$ <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>