Satz 3.10 $($ Eigenschaften konvergenter Folgen $)$ Es seien $(a_{n}), (b_{n})$ konvergente Folgen und $c, d$ seien reelle Zahlen. Dann gilt $:$ $(1)$ $(c \cdot a_{n})$ ist konvergent und $lim (c \cdot a_{n}) = c \cdot lim a_{n} .$ $(2)$ $(a_{n} + b_{n})$ ist konvergent und $lim (a_{n} + b_{n}) = lim a_{n} + lim b_{n} .$ $(3)$ $(a_{n} \cdot b_{n})$ ist konvergent und $lim (a_{n} \cdot b_{n}) = lim a_{n} \cdot lim b_{n} .$ $(4)$

Sind alle

b_{n} \neq 0

und ist

lim b_{n} \neq 0,

dann ist

(\frac{1}{b_{n}})

konvergent und

lim \frac{1}{b_{n}} = \frac{1}{lim b_{n}} .

(4^{'})

Sind alle

b_{n} \neq 0

und ist

lim b_{n} \neq 0,

dann ist

(\frac{a_{n}}{b_{n}})

konvergent und

lim \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{lim a_{n}}{lim b_{n}} .

(5)

(| a_{n} |)

ist konvergent und

lim | a_{n} | = | lim a_{n} | .

(6)

Ist

a_{n} \leq b_{n}

für jedes

n,

dann ist

lim a_{n} \leq lim b_{n} .

Ist insbesondere

a_{n} \leq d

bzw.

d \leq b_{n}

für jedes

n,

dann ist

lim a_{n} \leq d

bzw.

d \leq lim b_{n} .