Satz 3.10 $($ Eigenschaften konvergenter Folgen $)$ Es seien $(a_{n}), (b_{n})$ konvergente Folgen und $c, d$ seien reelle Zahlen. Dann gilt $:$ $(1)$ $(c \cdot a_{n})$ ist konvergent und $lim (c \cdot a_{n}) = c \cdot lim a_{n} .$ $(2)$ $(a_{n} + b_{n})$ ist konvergent und $lim (a_{n} + b_{n}) = lim a_{n} + lim b_{n} .$ $(3)$ $(a_{n} \cdot b_{n})$ ist konvergent und $lim (a_{n} \cdot b_{n}) = lim a_{n} \cdot lim b_{n} .$ $(4)$

Sind alle

$b_{n} \neq 0$ und ist

$lim b_{n} \neq 0,$ dann ist

$(\frac{1}{b_{n}})$ konvergent und

$lim \frac{1}{b_{n}} = \frac{1}{lim b_{n}} .$

$(4^{'})$

Sind alle

$b_{n} \neq 0$ und ist

$lim b_{n} \neq 0,$ dann ist

$(\frac{a_{n}}{b_{n}})$ konvergent und

$lim \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{lim a_{n}}{lim b_{n}} .$

$(5)$

$(| a_{n} |)$ ist konvergent und

$lim | a_{n} | = | lim a_{n} | .$

$(6)$

Ist

$a_{n} \leq b_{n}$ für jedes

$n,$ dann ist

$lim a_{n} \leq lim b_{n} .$ Ist insbesondere

$a_{n} \leq d$ bzw.

$d \leq b_{n}$ für jedes

$n,$ dann ist

$lim a_{n} \leq d$ bzw.

$d \leq lim b_{n} .$