Beweis. Es sei $lim a_{n} = a, lim b_{n} = b$ und sei $ε > 0 .$ (1). Es ist $| c \cdot a_{n} - c \cdot a | = | c | \cdot | a_{n} - a | : = (⋆)$ . 1. Fall: $c = 0 .$ $\Rightarrow (⋆) < ε$ für jedes $n \geq 0 .$ 2. Fall: $c \neq 0 .$ $\Rightarrow | a_{n} - a | < \frac{ε}{| c |}$ für fast alle $n .$ Damit erhält man

$| c \cdot a_{n} - c \cdot a | = | c | \cdot | a_{n} - a | < | c | \cdot \frac{ε}{| c |} = ε$ für fast alle $n .$

In jedem Fall ist also

$lim (c \cdot a_{n}) = c \cdot a = c \cdot lim a_{n} .$

(2). Nach Voraussetzung gilt: $a_{n} \to a, b_{n} \to b .$ Folglich existiert ein $n_{0},$ so daß für jedes $n \geq n_{0}$ :

$| a_{n} - a | < \frac{ε}{2} und | b_{n} - b | < \frac{ε}{2} .$

Daraus erhält man

$| (a_{n} + b_{n}) - (a + b) | = | a_{n} - a + b_{n} - b | \leq | a_{n} - a | + | b_{n} - b | < ε$

für $n \geq n_{0} .$

Also

$lim (a_{n} + b_{n}) = a + b = lim a_{n} + lim b_{n} .$

(3). Es soll $| a_{n} \cdot b_{n} - a \cdot b |$ durch $ε$ „abgeschätzt“ werden, und zwar für fast alle $n .$ Es ist bekannt, daß $| a_{n} - a |, | b_{n} - b |$ „klein“ werden für hinreichend große $n$ . Wir beginnen zu rechnen und versuchen ein $n_{0}$ so zu finden, daß die Abschätzung gelingt.

$\begin{matrix} | a_{n} b_{n} - a b | & = & | a_{n} b_{n} - a_{n} b + a_{n} b - a b | \\ \leq & | a_{n} b_{n} - a_{n} b | + | a_{n} b - a b | \\ = & | a_{n} | \cdot \underset{k l e i n}{\underset{︸}{| b_{n} - b |}} + | b | \cdot \underset{k l e i n}{\underset{︸}{| a_{n} - a |}} & : = (⋆ ⋆) \end{matrix}$

Nach Voraussetzung ist $(a_{n})$ konvergent, also auch beschränkt durch ein $c > 0,$ d.h., $| a_{n} | \leq c .$

Daraus ergibt sich

$| a_{n} | \cdot | b_{n} - b | \leq c \cdot | b_{n} - b | < \frac{ε}{2} \Leftrightarrow | b_{n} - b | < \frac{ε}{2 c} .$

Dies gilt aber nach (1) für hinreichend große $n .$

Analog gilt auch $| b | \cdot | a_{n} - a | < \frac{ε}{2}$ für große $n .$

Damit erhält man insgesamt $(⋆ ⋆) < ε .$

(4). Um diese Behauptung beweisen zu können, benötigen wir zunächst ein

Lemma. Wenn $lim b_{n} = b \neq 0,$ dann existiert ein $m_{0},$ so daß für jedes $n \geq m_{0}$ gilt : $| b_{n} | \geq \frac{| b |}{2} .$

Beweis. Sei $ε = \frac{| b |}{2} .$ Wegen $b_{n} \to b$ gibt es ein $m_{0},$ so daß für jedes $n \geq m_{0}$ gilt: $| b_{n} - b | < ε = \frac{| b |}{2} .$

Weiterhin gilt:

$\begin{matrix} | | b_{n} | - | b | | \leq | b_{n} - b | < \frac{| b |}{2} & \Rightarrow \\ - \frac{| b |}{2} < | b_{n} | - | b | < \frac{| b |}{2} & \Rightarrow \\ \frac{| b |}{2} < | b_{n} | < \frac{3}{2} \cdot | b | & \Rightarrow & \frac{1}{| b_{n} |} \leq \frac{2}{| n |} . \end{matrix}$ <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>

Beweis zu (4). Es ist

\begin{array}{l} | \frac{1}{b_{n}} - \frac{1}{b} | & = & | \frac{b - b_{n}}{b_{n} b} | = \frac{1}{| b_{n} | \cdot | b |} \cdot | b - b_{n} | \\ = & \frac{1}{\underset{\leq \frac{2}{| b |}}{\underset{︸}{| b_{n} |}}} \cdot \frac{1}{| b |} \cdot | b_{n} - b | \leq \frac{2}{{| b |}^{2}} \cdot | b_{n} - b | : = (⋆ ⋆ ⋆) \end{array}

Wegen $b_{n} \to b$ existiert für $ε > 0$ ein $n_{0},$ so daß für jedes $n \geq n_{0}$ gilt:

$| b_{n} - b | < \frac{ε}{2} \cdot | b |^{2} . \Rightarrow (⋆ ⋆ ⋆) < ε$ für $n \geq n_{0} .$

Also $lim \frac{1}{b_{n}} = \frac{1}{b} = \frac{1}{lim b_{n}} .$

$(4^{'})$ . Wegen $b_{n} \neq 0, b_{n} \to b$ und $b \neq 0$ gilt $\frac{1}{b_{n}} \to b .$ Da auch $a_{n} \to a$ erhält man mit (3)

$\frac{a_{n}}{b_{n}} = a_{n} \cdot \frac{1}{b_{n}} \to a \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b} \Rightarrow$

$lim \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{a}{b} = \frac{lim a_{n}}{lim b_{n}} .$

(5). Es ist $| | a_{n} | - | a | | \leq | a_{n} - a | < ε$ für hinreichend große $n .$ $\Rightarrow | a_{n} | \to | a | .$ Also $lim | a_{n} | = | a | = | lim a_{n} | .$

(6). Sei $c_{n} : = b_{n} - a_{n} (\geq 0) .$ g.z.z.: $lim c_{n} \geq 0 .$ Denn dann gilt ja

$0 \leq lim c_{n} = lim (b_{n} - a_{n}) = lim b_{n} - lim a_{n} \Rightarrow$

$lim a_{n} \leq lim b_{n} .$

Annahme: $lim c_{n} : = c < 0 .$

Sei $ε = \frac{| c |}{2} = - \frac{c}{2} .$ Dann liegen in $U_{ε} (c)$ fast alle $c_{n} . \Rightarrow$

$c - ε < c_{n} < c + ε$ , also $c - (- \frac{c}{2}) < c_{n} < c + (- \frac{c}{2})$ $\Rightarrow$

$\frac{3}{2} \cdot c < c_{n} < \frac{c}{2} < 0$ PICT !

Ist speziell $a_{n} \leq d,$ so ist $lim a_{n} \leq lim d = d$ ( $d$ als konstante Folge betrachtet).

Analoges gilt für $d \leq b_{n} .$ <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>