Ein Mengensystem $S = {M_{i} : i \in I}$ mit einer Indexmenge $I$ heißt Klasseneinteilung oder Partition oder Zerlegung von $M$ =Df

(1)

M_{i} \subseteq M

und

M_{i} \neq \emptyset

für alle

i \in I .

(2)

⋃_{i \in I} M_{i} = M

, und für jedes

i, j \in I

mit

i \neq j

ist

M_{i} \cap M_{j} = \emptyset .

(vgl. z.B. Literaturangabe [4], Teil I, Seiten 43 – 44.)

Eine Äquivalenzrelation $~$ in $M$ zieht eine Klasseneinteilung von $M$ nach sich; jeweils äquivalente Elemente gehören der gleichen Klasse an (dies müßte natürlich bewiesen werden). Die so entstehenden Klassen heißen auch Äquivalenzklassen. Ist $M$ die Menge aller Cauchyfolgen von rationalen Zahlen und $~$ die Grenzwertgleichheit in $M$ , dann wird $M$ in Äquivalenzklassen grenzwertgleicher Cauchyfolgen zerlegt. Damit sind neue mathematische Objekte entstanden, die (wie Dedekindsche Schnitte) ebenfalls als reelle Zahlen interpretiert werden können.