Es seien $a, b$ reelle Zahlen. Folglich gibt es Cauchyfolgen $(a_{n}), (b_{n})$ in $l Q$ , so daß $a = ⟨ a_{n} ⟩, b = ⟨ b_{n} ⟩$ . Dann sei:

$a \pm b = ⟨ a_{n} ⟩ \pm ⟨ b_{n} ⟩$ =Df $⟨ a_{n} \pm b_{n} ⟩$ für alle $n,$

$a \cdot b = ⟨ a_{n} ⟩ \cdot ⟨ b_{n} ⟩$ =Df $⟨ a_{n} \cdot b_{n} ⟩$ für alle $n,$ und

$a < b \Leftrightarrow ⟨ a_{n} ⟩ < ⟨ b_{n} ⟩$ =Df $⟨ a_{n} ⟩ \neq ⟨ b_{n} ⟩$ und $a_{n} < b_{n}$ für fast alle $n .$

$(⟨ a_{n} ⟩ \neq ⟨ b_{n} ⟩$ bedeutet, daß $(a_{n})$ und $(b_{n})$ nicht grenzwertgleich sind.)

$- ⟨ a_{n} ⟩$ =Df $⟨ - a_{n} ⟩,$

$\frac{1}{⟨ a_{n} ⟩}$ =Df $⟨\frac{1}{a_{n}}⟩$ ; Voraussetzung: $a_{n} \neq 0$ und $(a_{n})$ ist keine Nullfolge.

Die Definitionen sind unabhängig von der Wahl der Repräsentanten; dies bedeutet z.B. für die Addition: Sind $(a_{n}^{'})$ und $(b_{n}^{'})$ andere Repräsentanten von $a$ bzw. $b$ , dann muß dies zum gleichen Ergebnis führen, d.h.,

wenn $(a_{n}) ~ (a_{n}^{'})$ und $(b_{n}) ~ (b_{n}^{'}),$ so ist $(a_{n} + b_{n}) ~ (a_{n}^{'} + b_{n}^{'}) .$

Dies bedeutet dann nämlich, daß $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩ = ⟨ a_{n}^{'} + b_{n}^{'} ⟩,$ womit die gleiche reelle Zahl festgelegt ist. Analog verfährt man mit den anderen Fällen.

Mit den so eingeführten Funktionen $+$ und $\cdot$ und der Relation $<$ bildet die Menge der reellen Zahlen (= Menge der entsprechenden Äquivalenzklassen) einen archimedisch geordneten Körper, in dem das Intervallschachtelungsaxiom gilt. Dieser Körper ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt! (Dies hätte natürlich alles bewiesen werden müssen.)