Abschließend betrachten wir noch Funktionenfolgen. Dazu sei $M \subseteq I R$ und für jedes $n \in I N$ sei $f_{n} : I R \to I R$ eine in $M$ definierte Funktion. Weiterhin sei auch $f : I R \to I R$ in $M$ definiert.

Definition. (Konvergenz von Funktionenfolgen) (1) Die Funktionenfolge $(f_{n})$ konvergiert an der Stelle $a \in M$ gegen $b$

=Df

lim_{n \to \infty} f_{n} (a) = b

(2) $(f_{n})$ konvergiert in $M$ gegen die Funktion $f$ =Df

Für jedes

a \in M

gilt:

lim_{n \to \infty} f_{n} (a) = f (a)

, (d.h., für jedes fixierte

a \in M

konvergiert die Zahlenfolge

(f_{n} (a))

gegen die Zahl

f (a)

; diese Art Konvergenz nennen wir auch punktweise Konvergenz).

Bez.:

lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = f (x) .

(3) $(f_{n})$ konvergiert in $M$ =Df

Es existiert eine Funktion

f : I R \to I R

, so daß

(f_{n})

M

gegen

f

konvergiert.