Beispiel. Es sei $M=\left[0,1\right]$ und $f_n\left(x\right)=x^n.$

Für jedes fixierte $a\in \left[0,1\right]$ mit $a<1$ gilt offenbar $a^n\to 0$; für $a=1$ ist $a^n=1$, also $a^n\to 1.$

Folglich ist

$\underset{n\to \infty }{lim}{f}_n\left(x\right)=f\left(x\right)$ mit $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}0\text{ für }0\le x<1\hfill \\ 1\text{ für }x=1.\hfill \end{array}$