Die folgende Abbildung veranschaulicht, daß sich bei der gleichmäßigen Konvergenz für vorgegebenes $ε > 0$ die Funktionen $f_{n} (x)$ von $f (x)$ an jeder Stelle $x \in M = [a, b]$ um weniger als $ε$ unterscheiden, falls $n$ hinreichend groß ist; man sagt dafür auch, daß die Funktionen $f_{n} (x)$ in dem $ε$ -Streifen von $f (x)$ liegen.

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Anwendung: Oft approximiert man eine aufwändig zu berechnende Grenzfunktion $f$ über einem bestimmten Bereich durch einfacher zu berechnende Funktionen $f_{n}$ . Konvergiert dabei die Folge $(f_{n})$ gleichmäßig gegen $f$ , so kann man $f$ mit vorgegebener Genauigkeit $ε$ für den ganzen Bereich durch eine der Funktionen $f_{n}$ ${ersetzen.}_{}$

Die im vorhergehenden Beispiel betrachtete Funktionenfolge $f_{n} (x) = x^{n}$ ist nicht gleichmäßig konvergent in $[0, 1]$ . Angenommen doch, dann gibt es für $ε = \frac{1}{2}$ ein $n_{0}$ , so daß für jedes $n \geq n_{0}$ und für alle $x \in [0, 1]$ gilt: $| f_{n} (x) - f (x) | < \frac{1}{2} .$ Dies gilt insbesondere für $m = n_{0}$ und für alle $x \in [0, 1)$ ; hier ist zusätzlich $f (x) = 0$ . Also $| f_{n} (x) | < \frac{1}{2}$ für alle $x$ mit $0 \leq x < 1$ . Wir wählen jetzt $x$ „hinreichend dicht“ bei 1; $x : = 1 - δ$ mit $δ > 0$ . Dann gilt nach der Bernoullischen Ungleichung: $x^{m} = {(1 - δ)}^{m} \geq 1 - m δ$ ( $m$ fixiert). Sei $δ$ so klein, daß $m δ < \frac{1}{2}$ , dann ist $\frac{1}{2} < x^{m} = | f_{m} (x) - f (x) | < \frac{1}{2}$ PICT !

In den späteren Abschnitten über Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit von Funktionen werden wir uns ausführlicher mit den Eigenschaften der Grenzfunktion befassen.