und setzen

S_{n} = a_{0} + \dots + a_{n}

für

n \geq 0 .

Dadurch entsteht eine Folge

(S_{n})

von endlichen Summen, die wir für die Definition von unendlichen Reihen benutzen.

Definition. (Reihe) Es sei

{(a_{n})}_{n = 0, 1, 2, \dots}

eine Folge von reellen Zahlen. Die Folge

{(S_{n})}_{n = 0, 1, 2, \dots}

mit

S_{n} = \sum_{i = 0}^{n} a_{i}

heißt Folge der Partialsummen von

(a_{n})

oder unendliche Reihe (kurz Reihe). Bez.:

(S_{n}) = \sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} = \sum a_{i}

Definition. (Konvergenz von Reihen)

\sum_{i = 0}^{\infty} a_{i}

konvergiert

(

gegen

a)

=Df

(S_{n})

konvergiert (gegen

a

). Bez.:

lim S_{n} = a = \sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} .

a

heißt dann Wert oder Limes der Reihe.

Bemerkung.

\sum_{i = 0}^{\infty} a_{i}

ist doppeldeutig, es bezeichnet die Folge der Partialsummen von

(a_{n})

und den Wert der Reihe, falls sie konvergiert. Dies wird im praktischen Umgang aber nicht zu Verwechslungen führen.

Definition. (Divergenz von Reihen)

\sum a_{i}

ist divergent =Df

\sum a_{i}

ist nicht konvergent.

Beispiel. (Geometrische Reihe) Sei

| a | < 1

und

a \neq 0

. Dann konvergiert

\sum_{i = 0}^{\infty} a^{i}

gegen

\frac{1}{1 - a};

(

\sum a^{i}

heißt geometrische Reihe).

S_{n} (1 - a) = (1 + \dots + a^{n}) (1 - a) = 1 + \dots + a^{n} - (a + \dots + a^{n + 1})

Damit ist der Wert der

n

-ten Partialsumme berechnet. Wegen

lim a^{n + 1} = 0

erhält man aus den Eigenschaften konvergenter Folgen (vgl. Beispiel 2 in Kapitel 3, vor dem Satz 3.2)

lim_{n \to \infty} S_{n} = lim_{n \to \infty} \frac{1 - a^{n + 1}}{1 - a} = \frac{1}{1 - a} \cdot \underset{= 1}{\underset{︸}{lim_{n \to \infty} (1 - a^{n + 1})}} = \frac{1}{1 - a} .

Satz 4.1 $\sum a_{i}$ konvergiert gegen $a$ gdw für jedes $ε > 0$ ein $n_{0}$ existiert, so daß für jedes $n \geq n_{0}$ gilt $: | S_{n} - a | < ε .$

Beweis. Trivial; die Behauptung folgt unmittelbar aus der Definition einer Reihe und der Konvergenz von Folgen.

<mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>

Satz 4.2 $($ Cauchysches Konvergenzkriterium für Reihen $)$ $\sum a_{i}$ ist konvergent gdw für jedes $ε > 0$ ein $n_{0}$ existiert, so daß für jedes $m, n > n_{0}$ gilt $: | S_{m} - S_{n} | < ε .$

Beweis. Der Beweis folgt unmittelbar aus dem Cauchyschen Konvergenzkriterium für Folgen.

Korollar 1.

\sum a_{i}

konvergiert gdw für jedes

ε > 0

ein

n_{0}

existiert, so daß für jedes

n \geq n_{0}

und für jedes

k \geq 1

gilt

:

| a_{n + 1} + \dots + a_{n + k} | < ε .

| S_{m} - S_{n} | = | a_{1} + \dots + a_{n} + a_{n + 1} + \dots + a_{n + k} - (a_{1} + \dots + a_{n}) |

Korollar 2. Wenn

\sum a_{i}

konvergiert, dann ist

lim_{i \to \infty} a_{i} = 0

Beweis. Setzt man in dem vorhergehenden Korollar

k = 1

, dann ist

| a_{n + 1} | < ε

für jedes

n \geq n_{0} .

Damit gilt

a_{n + 1} \to 0,

also

a_{i} \to 0 .

Beispiel.

\sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n}

ist nicht konvergent, da

({(- 1)}^{n})

keine Nullfolge ist.

Definition. (absolute Konvergenz)

\sum a_{i}

ist absolut konvergent =Df

\sum | a_{i} |

ist konvergent.

Satz 4.3 Eine absolut konvergente Reihe ist konvergent.

Beweis. Sei

\sum | a_{i} |

konvergent und

ε > 0 .

Dann existiert nach Korollar 1 ein

n_{0},

so daß für jedes

n \geq n_{0}

und

k \geq 1 :

| | a_{n + 1} | + \dots + | a_{n + k} | | < ε .

Also

| a_{n + 1} + \dots + a_{n + k} | \leq | a_{n + 1} | + \dots + | a_{n + k} | < ε .

Bemerkung. Wenn

\sum a_{i}

konvergiert, dann muß

\sum | a_{i} |

noch nicht konvergent sein. (Der Beweis hierzu erfolgt später.)

Satz 4.4 Es seien $\sum a_{i}, \sum b_{i}$ konvergent und $a, b \in I R$ . Dann ist $\sum (a \cdot a_{i} + b \cdot b_{i})$ konvergent und $\sum (a \cdot a_{i} + b \cdot b_{i}) = a \cdot \sum a_{i} + b \cdot \sum b_{i} .$

Beweis. Sei

S_{n}^{'} = \sum_{i = 0}^{n} a_{i}, S_{n}^{″} = \sum_{i = 0}^{n} b_{i}

und

S_{n} = \sum_{i = 0}^{n} (a \cdot a_{i} + b \cdot b_{i}) .

Dann ist

S_{n} = a \cdot S_{n}^{'} + b \cdot S_{n}^{″} .

Aus den Eigenschaften für konvergente Folgen (Satz 3.10) erhält man sofort die Behauptung.

Satz 4.5 $\sum_{i = 0}^{\infty} a_{i}$ ist konvergent gdw für jedes $k \geq 1$ gilt $:$ $\sum_{i = k}^{\infty} a_{i}$ ist konvergent $($ und es ist $\sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} = \sum_{i = 0}^{k - 1} a_{i} + \sum_{i = k}^{\infty} a_{i}) .$

Beweis. Der Beweis ergibt sich sofort aus den Eigenschaften für konvergente Folgen. Man benutzt für

n \geq k

S_{n} = a_{0} + \dots + a_{n} = \underset{: = c}{\underset{︸}{a_{0} + \dots + a_{k - 1}}} + \underset{: = S_{n}^{'}}{\underset{︸}{a_{k} + \dots + a_{n}}} .

Wir wissen schon, daß

(S_{n})

konvergiert gdw

(S_{n}^{'})

konvergiert und daß

lim S_{n} = c + lim S_{n}^{'}

. Hieraus folgt die Behauptung.

Bemerkung. Ein Anfangsstück einer Reihe ist also ohne Belang für das Konvergenzverhalten der Reihe, wohl aber für den Wert der Reihe (falls Konvergenz vorliegt).

\sum_{i = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{i}}{i + 1} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \pm \dots,

\sum_{i = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{i + 1}}{i + 1} = - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \mp \dots .

Satz 4.6 $($ Leibniz–Kriterium $)$ Ist $\sum a_{i}$ alternierend und $lim a_{i} = 0$ und ${(| a_{i} |)}_{i = 0, 1, 2, \dots}$ monoton fallend, dann ist $\sum a_{i}$ konvergent.

Beweis. Es sei o.B.d.A.

a_{0} > 0

(anderenfalls betrachten wir

a_{0} + \sum_{i = 1}^{\infty} a_{i}

und

a_{1} > 0

). Weiterhin sei

| a_{i} | = α_{i} (> 0)

. Dann ist

lim α_{i} = 0

und

\sum a_{i} = \sum {(- 1)}^{i} \cdot α_{i} .

| S_{n + k} - S_{n} | = | {(- 1)}^{n + 1} α_{n + 1} + \dots + {(- 1)}^{n + k} \cdot α_{n + k} |

= | {(- 1)}^{n + 1} (α_{n + 1} - α_{n + 2} + α_{n + 3} - α_{n + 4} \pm \dots + {(- 1)}^{k - 1} α_{n + k}) |

= \underset{= 1}{\underset{︸}{| {(- 1)}^{n + 1} |}} \cdot | α_{n + 1} - α_{n + 2} + α_{n + 3} - α_{n + 4} \pm \dots + {(- 1)}^{k - 1} α_{n + k} |

= | \underset{}{\underset{︸}{α_{n + 1} - α_{n + 2}}} + \underset{︸}{α_{n + 3} - α_{n + 4}} \pm \dots + {(- 1)}^{k - 1} α_{n + k} | : = (⋆)

In Abhängigkeit von

k

ist die Anzahl der Summanden

α_{i}

(⋆)

gerade bzw. ungerade. Nach Voraussetzung ist die Folge

(α_{i})

monoton fallend, also

α_{n + 1} - α_{n + 2} \geq 0, \dots

. Ist

k

gerade, dann kann man die Summanden in

(⋆)

paarweise zusammenfassen, und es ist

(⋆ ⋆) : = (α_{n + 1} - α_{n + 2}) + (α_{n + 3} - α_{n + 4}) + \dots + (α_{n + k - 1} - α_{n + k}) \geq 0 .

Ist

k

ungerade, dann bleibt bei der paarweisen Zusammenfassung

α_{n + k}

übrig, aber

α_{n + k}

ist offensichtlich nicht negativ. Folglich ist auch in diesem Fall

(⋆ ⋆) \geq 0 .

(⋆ ⋆) = α_{n + 1} - \underset{\geq 0}{\underset{︸}{(α_{n + 2} - α_{n + 3})}} - \dots - \underset{\geq 0}{\underset{︸}{()}} \leq α_{n + 1} .

0 \leq (⋆ ⋆) \leq α_{n + 1}

und damit

| S_{n + k} - S_{n} | = | (⋆ ⋆) | \leq α_{n + 1} .

Sei

ε > 0 .

Wegen

α_{n} \to 0

gibt es ein

n_{0},

so daß für jedes

n \geq n_{0}

| S_{n + k} - S_{n} | \leq α_{n + 1} < ε .

\Rightarrow

(S_{n}) = \sum a_{i}

ist konvergent.

Satz 4.7 Sei $\sum a_{i}$ eine Reihe mit $a_{i} \geq 0$ für jedes $i .$ Dann gilt $:$ $\sum a_{i}$ ist konvergent gdw die Folge der Partialsummen beschränkt ist.

Beweis. Es sei

S_{n} = \sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} .

Zum Beweis benutzen wir Satz 3.8 (monotone Folgen sind konvergent gdw sie beschränkt sind).

(

\to

)

\sum a_{i}

ist konvergent

\Rightarrow

(S_{n})

konvergent

\Rightarrow

(S_{n})

beschränkt.

(

\leftarrow

) Wegen

a_{i} \geq 0

für jedes

i,

ist

(S_{n})

monoton wachsend. Ist außerdem

(S_{n})

beschränkt, so ist

(S_{n}) = \sum a_{i}

konvergent.

1. (Anwendung des Leibniz-Kriteriums) Behauptung:

\sum_{n = 0}^{\infty} \underset{: = a_{n}}{\underset{︸}{{(- 1)}^{n} \cdot \frac{1}{n + 1}}} = \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n - 1} \cdot \frac{1}{n}

ist konvergent.

Offenbar ist

\sum a_{n}

alternierend,

a_{n} \to 0

und

| a_{n} | = \frac{1}{n + 1}

monoton fallend, folglich ist die betrachtete Reihe konvergent.

Sei

a = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot \frac{1}{n + 1} \Rightarrow a_{0} = 1 > a > 0

(vgl. Beweis zu Satz 4.6; mit dem späteren Korollar zu Satz 7.11 läßt sich leicht zeigen, daß

a = ln 2

2. (Die Glieder einer Reihe dürfen nicht beliebig „umsortiert“ werden.) Wir betrachten die Reihe aus Beispiel 1 und nehmen an, daß man die Glieder einer Reihe beliebig umsortieren darf, ohne das Konvergenzverhalten zu verändern. Dann gilt:

a = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \pm \dots

= \frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \dots - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{6} - \dots

(umsortiert)

= \frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \dots + \underset{= 0}{\underset{︸}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \pm \dots}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{6} - \dots

(0 addiert)

= \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \dots - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{6} - \frac{1}{6} - \dots

(umsortiert)

= \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \dots - \frac{1}{1} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6} - \dots

= \frac{1}{1} - \frac{1}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \pm \dots = 0

! (umsortiert und addiert)

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}

ist nicht konvergent. (Harmonische Reihe) Diese Reihe dient gleichzeitig als Beispiel dafür, daß eine konvergente Reihe nicht absolut konvergent sein muß. (vgl. Beispiel 1.)

Es sei

S_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} .

Wir betrachten jetzt die

2^{n}

-te Partialsumme

S_{2^{n + 1}} - S_{2^{n}} = \frac{1}{2^{n} + 1} + \frac{1}{2^{n} + 2} + \dots + \frac{1}{2^{n} + 2^{n}}

(jeder dieser

2^{n}

Summanden ist größer oder gleich

\frac{1}{2^{n + 1}}

)

S_{2^{n}} = S_{2^{0}} - S_{2^{0}} + S_{2^{1}} - S_{2^{1}} + \dots + S_{2^{n - 1}} - S_{2^{n - 1}} + S_{2^{n}}

= \underset{= 1}{\underset{︸}{S_{2^{0}}}} + \underset{\geq \frac{1}{2}}{\underset{︸}{S_{2^{1}} - S_{2^{0}}}} + \underset{\geq \frac{1}{2}}{\underset{︸}{S_{2^{2}} - S_{2^{1}}}} + \dots + \underset{\geq \frac{1}{2}}{\underset{︸}{S_{2^{n}} - S_{2^{n - 1}}}}

Die Teilfolge

(S_{2^{i}})

von

(S_{n})

ist also unbeschränkt, und somit ist

(S_{n}) = \sum \frac{1}{n}

nicht konvergent.

(S_{n})

monoton wächst, ist

\sum \frac{1}{n}

bestimmt divergent gegen

+ \infty

4. Ist

\sum_{i = 0}^{\infty} a_{i}

alternierend und

a_{i} \to 0

aber

(| a_{i} |)

nicht monoton fallend, dann muß

\sum a_{i}

nicht konvergent sein.

Sei

a_{i} = {\begin{array}{l} \frac{1}{n + 1} falls i ungerade und i = 2 n + 1 \\ - \frac{1}{2^{n}} falls i gerade und i = 2 n . \end{array}

\sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} = - \frac{1}{2^{0}} + \frac{1}{1} - \frac{1}{2^{1}} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{4} \mp \dots

Summiert man in dieser endlichen Summe die

a_{i}

mit ungeradem Index

i,

so erhält man

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^{m}} \geq 1 + m \cdot \frac{1}{2}

(vgl. Beispiel 3.)

- \frac{1}{2^{0}} - \frac{1}{2^{1}} - \frac{1}{2^{2}} - \dots - \frac{1}{2^{2^{m}}} = - ((\frac{1}{2})^{0} + (\frac{1}{2})^{1} + \dots + (\frac{1}{2})^{2^{m}}) =

- \frac{1 - (\frac{1}{2})^{2 m + 1}}{1 - \frac{1}{2}} = - 2 (1 - (\frac{1}{2})^{2 m + 1}) \geq - 2

(vgl. geometrische Reihe)

(denn für

i = 2^{m + 1} = 2 n

ist

n = 2^{m}

, also

\frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{2^{2^{m}}}

S_{2^{m + 1}} = \underset{\geq 1 + \frac{m}{2}}{\underset{︸}{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2^{m}}}} - (\underset{\leq 2}{\underset{︸}{1 + (\frac{1}{2})^{1} + (\frac{1}{2})^{2} + \dots + (\frac{1}{2})^{2^{m}}}})

\geq 1 + \frac{m}{2} - 2 \geq \frac{m}{2} - 1 \underset{m \to \infty}{\to} \infty .

Folglich ist

(S_{2^{n}})

eine unbeschränkte Teilfolge von

(S_{n})

und somit

\sum a_{i}

nicht konvergent.

5. Beispiel dafür, wie der junge Leibniz 1672 in Paris – er sollte dort seine „Rechenkünste“ unter Beweis stellen – mit falschen Hilfsmitteln den richtigen Wert einer Reihe berechnet hat (vgl. Wußing, H. und Wolfgang Arnold. Biographien bedeutender Mathematiker, Volk und Wissen Volkseigener Verlag Berlin, 1975, S. 212).

Gegeben ist die Reihe

A = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \dots + \frac{1}{1 + \dots + n} + \dots .

Sei

B = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots

(harmonische Reihe; nicht konvergent!) und

\frac{1}{2} A = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \dots .

Dann ist (nach Leibniz):

B - 1 + \frac{1}{2} A = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \dots + (\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \dots)

= (\underset{= 1}{\underset{︸}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}) + (\underset{= \frac{1}{2}}{\underset{︸}{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}}) + (\underset{= \frac{1}{3}}{\underset{︸}{\frac{1}{4} + \frac{1}{12}}}) + (\underset{= \frac{1}{4}}{\underset{︸}{\frac{1}{5} + \frac{1}{20}}}) + \dots

Erstaunlicherweise stimmt der Wert. Die Methoden sind aber fehlerhaft, da mit divergenten Reihen so umgegangen wurde, als wären sie konvergent.

Es soll jetzt noch eine exakte Lösung gegeben werden. Es ist (nach Gauß 1777 – 1855)

1 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2} \Rightarrow \frac{1}{1 + \dots + n} = \frac{2}{n (n + 1)} .

S_{n} = \frac{2}{1 \cdot 2} + \frac{2}{2 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{2}{n (n + 1)}

= 2 \cdot (\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n (n + 1)}) .

S_{n} = 2 \cdot (\frac{1}{1} \underset{0}{\underset{︸}{- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \underset{0}{\underset{︸}{- \frac{1}{3} + \frac{1}{3}}} - \dots \underset{0}{\underset{︸}{- \frac{1}{n} + \frac{1}{n}}} - \frac{1}{n + 1})

Definition. (Minorante, Majorante) Es seien

\sum a_{i}, \sum b_{i}

Reihen mit nicht-negativen Gliedern.

\sum a_{i}

heißt Minorante von

\sum b_{i}

und gleichzeitig heißt

\sum b_{i}

Majorante von

\sum a_{i}

=Df

a_{i} \leq b_{i}

für alle

i .

Satz 4.8 $($ Majorantenkriterium $)$ Es seien $\sum a_{i}, \sum b_{i}$ Reihen mit nicht-negativen Gliedern, und es sei $\sum b_{i}$ eine Majorante von $\sum a_{i} .$ Dann gilt $:$ $(1)$ Ist $\sum b_{i}$ konvergent, so ist auch $\sum a_{i}$ konvergent. $(2)$ Ist $\sum a_{i}$ divergent, so ist auch $\sum b_{i}$ divergent.

Beweis.

(1) .

Nach Voraussetzung gilt

0 \leq a_{i} \leq b_{i}

für alle

i

. Folglich ist

(S_{n})

monoton wächst, genügt zu zeigen, daß

(S_{n})

beschränkt ist.

Nach Voraussetzung ist

(S_{n}^{'})

konvergent, also auch beschränkt. Folglich ist auch

(S_{n})

beschränkt.

Bemerkung. In Satz 4.8 genügt es vorauszusetzen, daß

0 \leq a_{i} \leq b_{i}

für fast alle

i

gilt.

Satz 4.9 $($ Wurzelkriterium $)$ Es sei $(a_{i})$ eine beliebige Folge. Dann gilt $:$ $(1)$

Existiert ein

q

mit

0 < q < 1

, so daß für jedes

i

gilt

:

\sqrt[i]{| a_{i} |} \leq q

, dann ist

\sum a_{i}

absolut konvergent.

(2)

Ist

\sqrt[i]{| a_{i} |} \geq 1

für alle

i,

dann ist

\sum a_{i}

divergent.

Beweis. (1). Es sei

0 < q < 1

und

\sqrt[i]{| a_{i} |} \leq q \Rightarrow | a_{i} | \leq q^{i}

\sum_{i = 0}^{\infty} q^{i}

ist eine konvergente Majorante von

\sum | a_{i} |

(geometrische Reihe). Folglich ist

\sum | a_{i} |

(nach dem Majorantenkriterium) konvergent, und damit ist

\sum a_{i}

absolut konvergent.

(2). Sei

\sqrt[i]{| a_{i} |} \geq 1 .

Dann ist

| a_{i} | \geq 1

und daher

(a_{i})

keine Nullfolge. Folglich ist

\sum a_{i}

divergent.

Bemerkung. Für die Anwendung des Wurzelkriteriums genügt es, daß

\sqrt[i]{| a_{i} |} \leq q < 1

für fast alle

i

. (Offenbar folgt aus

\sqrt[i]{| a_{i} |} \leq q < 1

sofort

lim^{‾} \sqrt[i]{| a_{i} |} < 1

.) Ist andererseits

(a_{i})

beschränkt und

lim^{‾} \sqrt[i]{| a_{i} |} : = c < 1,

so ist

\sqrt[i]{| a_{i} |} \leq \underset{: = q < 1}{\underset{︸}{c + \frac{1 - c}{2}}}

für fast alle

i;

folglich ist

\sum a_{i}

absolut konvergent.

Ist also

lim^{‾} \sqrt[i]{| a_{i} |} < 1,

so ist

\sum a_{i}

absolut konvergent. Analog erhält man: Wenn

\sqrt[i]{| a_{i} |} > 1

für fast alle

i

, so ist

\sum a_{i}

divergent. Achtung: Für die Konvergenz von

\sum a_{i}

reicht es noch nicht, daß stets

\sqrt[i]{| a_{i} |} < 1

(bzw.

lim^{‾} \sqrt[i]{| a_{i} |} = 1

) ist; z.B. für

a_{i} = \frac{1}{i}

ist

\sqrt[i]{\frac{1}{i}} < 1

, denn

\frac{1}{i} < 1

(bzw.

lim^{‾} \frac{1}{i} = 1) .

Aber

\sum \frac{1}{i}

ist nicht konvergent. Wenn

lim \sqrt[i]{| a_{i} |}

existiert, dann ist offenbar

lim^{‾} \sqrt[i]{| a_{i} |} = lim \sqrt[i]{| a_{i} |},

und man rechnet nur mit dem Limes.

Satz 4.10 $($ Quotientenkriterium $)$ Es sei $a_{i} \neq 0$ für jedes $i$ . Dann gilt $:$

$(1)$ Existiert ein $q$ mit $0 < q < 1,$ so daß für jedes $i$ gilt $: | \frac{a_{i + 1}}{a_{i}} | \leq q,$ dann ist $\sum a_{i}$ absolut konvergent.

$(2)$ Ist $| \frac{a_{i + 1}}{a_{i}} | \geq 1$ für jedes $i$ , dann ist $\sum a_{i}$ divergent.

Beweis. (1). Sei

| \frac{a_{i + 1}}{a_{i}} | \leq q .

Dann ist

| a_{i + 1} | \leq q \cdot | a_{i} |

für alle

i,

folglich gilt

| a_{i} | \leq q \cdot | a_{i - 1} | \leq q^{2} \cdot | a_{i - 2} | \leq \dots \leq q^{i} \cdot | a_{0} | .

Damit ist

\sum | a_{0} | \cdot q^{i} = | a_{0} | \cdot \sum q^{i}

eine konvergente Majorante von

\sum | a_{i} |,

folglich ist

\sum a_{i}

absolut konvergent.

(2). Sei jetzt

| \frac{a_{i + 1}}{a_{i}} | \geq 1

für alle

i .

Dann ist

| a_{i + 1} | \geq | a_{i} | \geq \dots \geq | a_{0} |

und

| a_{0} | > 0

(nach Voraussetzung). Folglich ist

(a_{i})

keine Nullfolge und damit

\sum a_{i}

divergent.

Bemerkung. Für die Anwendung des Quotientenkriteriums genügt es, daß

| \frac{a_{i + 1}}{a_{i}} | \leq q < 1

für fast alle

i

. Ähnlich wie beim Wurzelkriterium folgt aus

lim^{‾} | \frac{a_{i + 1}}{a_{i}} | < 1

die absolute Konvergenz von

\sum a_{i} .

Ist andererseits

lim_{_} | \frac{a_{i + 1}}{a_{i}} | > 1,

dann ist

\sum a_{i}

divergent.

Beispiele. 1. Sei

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a^{n}}{n^{n}}, a \neq 0,

also

a_{n} = (\frac{a}{n})^{n} .

Hier bietet sich das Wurzelkriterium an. Es ist

\sqrt[n]{| a_{n} |^{n}} = \sqrt[n]{| \frac{a}{n} |^{n}} = | \frac{a}{n} | \leq q < 1

Benutzt man für dasselbe Beispiel das Quotientenkriterium, dann wird die Berechnung komplizierter. Es ist (vgl. auch Beispiel 3/1/35)

|\frac{\frac{a^{n + 1}}{{(n + 1)}^{n + 1}}}{\frac{a^{n}}{n^{n}}}| = |\frac{a^{n + 1}}{a^{n}}| \cdot (\frac{n}{n + 1})^{n} \cdot \frac{1}{n + 1} = | a | \cdot \frac{1}{(1 + \frac{1}{n})^{n}} \cdot \frac{1}{n + 1} : = (⋆) .

Wir wissen schon, daß

(1 + \frac{1}{n})^{n} \geq 2,

also

\frac{1}{(1 + \frac{1}{n})^{n}} \leq \frac{1}{2},

folglich ist

(⋆) \leq | a | \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n + 1} \leq q < 1

für fast alle

n

(z.B. für

q = \frac{1}{2}) .

2. Wir betrachten die Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a^{n}}{n!}, a \neq 0 .

Hier bietet sich das Quotientenkriterium an, denn

|\frac{\frac{a^{n + 1}}{(n + 1)!}}{\frac{a^{n}}{n!}}| = |\frac{a^{n + 1}}{a^{n}}| \cdot \frac{n!}{(n + 1)!} = | a | \cdot \frac{1}{n + 1} \leq q < 1

für fast alle

n

und z.B.

q = \frac{1}{2} .

Dasselbe Beispiel wird mit dem Wurzelkriterium komplizierter. Die Beispiele 1 und 2 zeigen, daß die untersuchten Reihen für alle fixierten Elemente

a \in I R

konvergieren.

3. Wir betrachten jetzt die Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a^{n}}{n}

und zeigen, daß diese Reihe für gewisse Werte

a \in I R

konvergiert und für andere Werte divergiert. Es sei zunächst

| a | < 1, a \neq 0 .

Wir benutzen das Quotientenkriterium. Für

q = | a |

und für fast alle

n

gilt

|\frac{\frac{a^{n + 1}}{n + 1}}{\frac{a^{n}}{n}}| = | a | \cdot \frac{n}{n + 1} \leq q < 1 .

Ist

| a | = 1

, so erhält man für

a = 1

die harmonische Reihe (diese ist divergent) und für

a = - 1

eine konvergente alternierende Reihe. Es sei nun

| a | > 1 .

Dann ist

(\frac{a^{n}}{n})

keine Nullfolge, und somit

\sum \frac{a^{n}}{n}

nicht konvergent.

4. Wir betrachten

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} .

Die Konvergenz dieser Reihe kann man weder mit dem Wurzel- noch mit dem Quotientenkriterium nachweisen (bitte ausprobieren!). Für eine geeignete konvergente Majorante könnte man das Majorantenkriterium heranziehen.

Es ist

\frac{1}{{(n + 1)}^{2}} \leq \frac{1}{n (n + 1)},

und die Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n + 1)}

ist konvergent. Denn

S_{k} = \sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{n (n + 1)} = \sum_{n = 1}^{k} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 1 - \frac{1}{k + 1} .

Folglich ist

S_{k} \to 1

, und somit ist

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n + 1)}

eine konvergente Majorante von

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} .

Aus

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{{(n + 1)}^{n}}

erhält man die Behauptung.

5. Wir betrachten jetzt ein Beispiel für eine Reihe, bei der das Quotientenkriterium versagt (das Wurzelkriterium ließe sich anwenden). Es sei

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} = \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{32} + \frac{1}{16} + \dots =

(\frac{1}{2})^{1} + (\frac{1}{2})^{0} + (\frac{1}{2})^{3} + (\frac{1}{2})^{2} + (\frac{1}{2})^{5} + (\frac{1}{2})^{4} + \dots .

Folglich ist

a_{n} = {\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{n + 1}, falls n gerade ist, \\ {(\frac{1}{2})}^{n - 1}, sonst . \end{array}

Dann gilt für alle geraden

n :

a_{n} = (\frac{1}{2})^{n + 1}, a_{n + 1} = (\frac{1}{2})^{n}

und folglich

| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = 2 .

Die Reihe ist aber konvergent, denn es ist

S_{k} = (\frac{1}{2})^{1} + (\frac{1}{2})^{0} + \dots + (\frac{1}{2})^{k + 1} + (\frac{1}{2})^{k}

für gerade

k

und damit

S_{k} = \frac{1 - (\frac{1}{2})^{k + 2}}{1 - \frac{1}{2}} \leq 2 .

Für beliebige

k

ist

(S_{k})

monoton wachsend und beschränkt, also auch konvergent.

Definition. Es sei

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}

eine Reihe.

\sum_{i = 0}^{\infty} b_{i}

entsteht aus

\sum a_{n}

durch das Setzen von Klammern =Df

Es gibt eine streng monoton wachsende Folge

{(n_{i})}_{i = 0, 1, 2, \dots}

von natürlichen Zahlen, so daß gilt:

b_{0} = a_{0} + \dots + a_{n_{0}},

b_{1} = a_{n_{0} + 1} + \dots + a_{n_{1}},

⋮

b_{i + 1} = a_{n_{i} + 1} + \dots + a_{n_{i + 1}},

⋮

Bemerkung. In der Ausgangsreihe werden gewisse aufeinanderfolgende Glieder durch Klammern zusammengefaßt.

Satz 4.11 In einer konvergenten Reihe können Klammern beliebig gesetzt werden, ohne das Konvergenzverhalten und den Wert der Reihe zu verändern. (D.h., für konvergente Reihen gilt das allgemeinste Assoziativgesetz.)

Beweis. Sei

\sum a_{n}

konvergent,

\sum a_{n} = a,

und sei

\sum b_{i}

durch das Setzen von Klammern aus

\sum a_{n}

entstanden. Weiterhin sei

S_{m} = \sum_{n = 0}^{m} a_{n}

und

S_{m}^{'} = \sum_{i = 0}^{m} b_{i} = \underset{: = b_{0}}{\underset{︸}{a_{0} + \dots + a_{n_{0}}}} + \dots + \underset{b_{m}}{\underset{︸}{a_{n_{m - 1} + 1} + \dots + a_{n_{m}}}} = S_{n_{m}} .

Offenbar ist

(S_{m}^{'}) = (S_{n_{m}})

eine Teilfolge von

(S_{m}) .

Wegen

S_{m} \to a

konvergiert auch

(S_{m}^{'})

als Teilfolge von

(S_{m})

gegen

a;

also

S_{m}^{'} \to a

\Rightarrow \sum_{i = 0}^{\infty} b_{i} = a .

Bemerkung. In einer beliebigen Reihe dürfen Klammern nicht immer gesetzt oder weggelassen werden, ohne das Konvergenzverhalten zu verändern.

Beispiel.

\sum_{i = 0}^{\infty} 0 = 0 + 0 + 0 + \dots = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + \dots

ist konvergent. Weglassen der Klammern in der letzten Reihe liefert

1 - 1 + 1 - 1 \pm \dots,

also eine divergente Reihe.

Geht man von der divergenten Reihe

\sum_{i = 0}^{\infty} {(- 1)}^{i} = 1 - 1 + 1 - 1 \pm \dots

aus, dann dürfen hier nicht beliebig Klammern gesetzt werden, denn z.B.

(1 - 1) + (1 - 1) + \dots

macht aus der ursprünglich divergenten Reihe eine konvergente.

Wir haben schon gezeigt, daß konvergente Reihen nicht beliebig umgeordnet werden dürfen (vgl. Beispiel 2 := 4/1/30/2). Mit Hilfe einer Definition sollen die Reihen hervorgehoben werden, bei denen dies erlaubt ist.

Definition. (unbedingte Konvergenz) Es sei

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}

eine Reihe und

f : I N \to I N

eine Bijektion (oder auch Permutation von IN). Dann ist

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{f (n)}

durch Umordnung aus

\sum a_{n}

entstanden.

\sum a_{n}

heißt unbedingt konvergent =Df

Satz 4.12 Eine absolut konvergente Reihe konvergiert unbedingt und zwar immer gegen denselben Wert. (D.h., für absolut konvergente Reihen gilt das allgemeinste Kommutativgesetz.)

Beweis. Sei

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}

absolut konvergent,

\sum a_{n} = a

und

f : I N \to I N

eine Permutation von

I N .

Behauptung:

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{f (n)}

konvergiert gegen

a .

z.z.: Für

ε > 0

gibt es ein

n^{*},

so daß für jedes

n \geq n^{*}

gilt:

| a_{f (0)} + \dots + a_{f (n)} - a | < ε .

Es sei

S_{m} = \sum_{n = 0}^{m} a_{n}, S_{m}^{'} = \sum_{n = 0}^{m} a_{f (n)}

und

S_{m}^{″} = \sum_{n = 0}^{m} | a_{n} | .

Nach Voraussetzung ist

(S_{m}^{″})

konvergent. Folglich gilt nach dem Cauchy–Kriterium: Es existiert ein

n_{0},

so daß für jedes

n \geq n_{0}

und jedes

k \geq 1 :

k

beliebig ist, erhält man daraus für je endlich viele

n_{1}, \dots, n_{l},

die sämtlich größer als

n_{0}

sind:

Nach Voraussetzung gilt weiterhin: Es existiert ein

m_{0},

so daß für jedes

n \geq m_{0} :

Sei

k_{0} = {n_{0}, m_{0}} .

f

eine Permutation von

I N

ist, kommen

0, 1, \dots, k_{0}

unter den Elementen

f (0), f (1), f (2), \dots

vor. Sei nun

n^{*}

so groß gewählt, daß

0, 1, \dots, k_{0}

schon unter den Elementen

f (0), \dots, f (n^{*})

vorkommen. g.z.z.: für

m \geq n^{*}

gilt:

| S_{m}^{'} - a | < ε .

S_{m}^{'} = a_{f (0)} + \dots + a_{f (m)} = a_{0} + \dots + a_{k_{0}} + a_{f (i_{1})} + \dots + a_{f (i_{l})};

wobei

{f (i_{1}), \dots, f (i_{l})} = {f (0), \dots, f (m)} \ {0, \dots, k_{0}};

insbesondere ist

f (i_{j}) > k_{0}

für

j = 1, \dots, l .

| S_{m}^{'} - a | = | a_{0} + \dots + a_{k_{0}} + a_{f (i_{1})} + \dots + a_{f (i_{l})} - a |

\leq | a_{0} + \dots + a_{k_{0}} - a | + | a_{f (i_{1})} + \dots + a_{f (i_{l})} |

\leq \underset{< \frac{ε}{2}}{\underset{︸}{| S_{k_{0}} - a |}} + \underset{< \frac{ε}{2}}{\underset{︸}{| a_{f (i_{1})} | + \dots + | a_{f (i_{l})} |}} < ε .

Satz 4.13 $($ Umordnungssatz von Riemann $)$ Ist $\sum a_{n}$ konvergent und nicht absolut konvergent, dann existiert für jedes $c \in I R$ bzw. für $c = \pm \infty$ eine Umordnung $\sum b_{i}$ von $\sum a_{n},$ so daß $\sum b_{i} = c .$

a_{n}^{+} : = {\begin{array}{l} a_{n} für a_{n} \geq 0 \\ 0 für a_{n} < 0 \end{array} und a_{n}^{-} : = {\begin{array}{l} - a_{n} für a_{n} \leq 0 \\ 0 für a_{n} > 0, \end{array}

\sum a_{n}

nicht absolut konvergiert, sind die beiden Reihen

\sum a_{n}^{+}

und

\sum a_{n}^{-}

divergent. Wären beide Reihen konvergent, so ist wegen

| a_{n} | = a_{n}^{+} + a_{n}^{-}

nach Satz 4.4 auch

\sum | a_{n} |

konvergent. PICT

! Wäre eine der beiden Reihen konvergent, etwa

\sum a_{n}^{+}

und die andere divergent, so erhält man wiederum nach Satz 4.4 aus

a_{n}^{-} = a_{n}^{+} - a_{n}

die Konvergenz von

\sum a_{n}^{-}

; hieraus ergibt sich erneut ein Widerspruch. Da

a_{n}^{+}

und

a_{n}^{-}

stets nicht negativ sind, divergieren beide Reihen bestimmt gegen

+ \infty

. Dies nutzen wir aus, um die Behauptung des Umordnungssatzes zu beweisen.

Es sei zunächst

c \in I R

und

c \geq 0

(den Fall

c < 0

behandelt man analog). Induktiv definiert man Folgen

(S_{n_{ν}}), (S_{m_{ν}}^{'})

, deren Glieder aus je endlich vielen ausgewählten Summanden von

\sum a_{n}^{+}

bzw.

\sum a_{n}^{-}

bestehen. Wir geben hier nur an, wie man vom nullten zum ersten Folgenglied kommt, der eigentliche Induktionsschritt ist daraus klar ersichtlich.

\sum_{i = 0}^{n_{0} - 1} a_{i}^{+} \leq c < \sum_{i = 0}^{n_{0}} a_{i}^{+} : = S_{n_{0}}

und

S_{n_{0}} - \sum_{i = 0}^{m_{0} - 1} a_{i}^{-} \geq c > S_{n_{0}} - \sum_{i = 0}^{m_{0}} a_{i}^{-} : = S_{m_{0}}^{'} .

S_{m_{0}}^{'} + \sum_{i = n_{0} + 1}^{n_{1} - 1} a_{i}^{+} \leq c < S_{m_{0}}^{'} + \sum_{i = n_{0} + 1}^{n_{1}} a_{i}^{+} : = S_{n_{1}}

und

S_{n_{1}} - \sum_{i = m_{0} + 1}^{m_{1} - 1} a_{i}^{-} \geq c > S_{n_{1}} - \sum_{i = m_{0} + 1}^{m_{1}} a_{i}^{-} : = S_{m_{1}}^{'} .

Bei jedem Schritt wird wenigstens ein Glied aus jeder der beiden Reihen

\sum a_{n}^{+}

und

\sum a_{n}^{-}

verbraucht.

Wir betrachten jetzt die folgende Umordnung der Ausgangsreihe

\sum a_{n}

(wobei die aufgrund der Definition von

a_{i}^{+}

und

a_{i}^{-}

„künstlich“ eingeführten Nullen ersatzlos gestrichen werden können, ohne das Konvergenzverhalten und den Wert der Reihe zu verändern):

\sum_{i = 0}^{\infty} b_{i} = a_{0}^{+} + \dots + a_{n_{0}}^{+} - a_{0}^{-} - \dots - a_{m_{0}}^{-} +

a_{n_{0}}^{+} + \dots + a_{n_{1}}^{+} - a_{m_{0}}^{-} - \dots - a_{m_{1}}^{-} \pm \dots

Aus der Definition von

(S_{n_{ν}}), (S_{m_{ν}}^{'})

folgt unmittelbar, daß stets

0 < S_{n_{ν}} - c < a_{n_{ν}}^{+}

und

0 < c - S_{m_{ν}}^{'} < a_{m_{ν}}^{-}

Wegen

a_{n} \to 0

ist

lim_{ν \to \infty} S_{n_{ν}} = c = lim_{ν \to \infty} S_{m_{ν}}^{'}

Ist

S_{n}^{⋆} : = \sum_{i = 0}^{n} b_{i}

eine beliebige Partialsumme von

\sum b_{i}

, dann gibt es offenbar ein

k \in I N

, so daß

S_{m_{k}}^{'} \leq S_{n}^{⋆} \leq S_{n_{k}}

oder

S_{m_{k}}^{'} \leq S_{n}^{⋆} \leq S_{n_{k + 1}}

Folglich ist

lim_{n \to \infty} S_{n}^{⋆} = c = \sum_{i = 0}^{\infty} b_{i}

Wegen

a_{n} \to 0

ist

| a_{n} | \leq \frac{1}{2}

für fast alle

n

. Es genügt eine Umordnung

\sum b_{i}

von

\sum_{n = k}^{\infty} a_{n}

anzugeben, die bestimmt gegen

\infty

divergiert; die fehlenden Summanden

a_{0}, \dots, a_{k}

können an den Anfang der Reihe gesetzt werden, ohne das Divergenzverhalten der Reihe zu beeinflussen. (Aus technischen Gründen werden auch hier wieder, wie im vorhergehenden Fall, Nullen eingefügt, die man ersatzlos streichen kann.)

Es ist

\sum_{n = k}^{\infty} a_{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \underset{: = d_{n}}{\underset{︸}{a_{n + k}}} = \sum_{n = 0}^{\infty} d_{n}

Wegen

| d_{i} | \leq \frac{1}{2}

für alle

i

ist stets

U_{i} - d_{i}^{-} \geq 1

\sum_{i = 0}^{\infty} b_{i} : = d_{o}^{+} + \dots + d_{n_{0}}^{+} - d_{0}^{-} + d_{n_{0} + 1}^{+} \dots + d_{n_{1}}^{+} - d_{1}^{-} \pm \dots

leistet das Verlangte. Denn ist

S_{m} = \sum_{i = 0}^{\infty} b_{i}

eine beliebige Partialsumme von

\sum b_{i}

, dann gibt es offenbar ein maximales

k \in I N

, so daß

S_{m} = U_{0} - d_{0}^{-} + \dots + U_{k} - d_{k}^{-} + d_{k + 1}^{+} + \dots + d_{m}^{+}

Wegen

d_{i}^{+} \geq 0

ist

S_{m} \geq k + 1

. Hieraus folgt schließlich

S_{m} \to \infty

Satz 4.14 $($ Multiplikation unendlicher Reihen $)$ Vorausseztungen $:$

$(1)$

Es seien

\sum_{m = 0}^{\infty} a_{m}, \sum_{n = 0}^{\infty} b_{n}

absolut konvergent und

\sum a_{m} = a, \sum b_{n} = b .

(2)

f

sei eine Bijektion zwischen

I N

und

I N \times I N

. (Die Existenz einer solchen Bijektion weist man mit dem 1. Cantorschen Diagonalverfahren nach).

(3)

Für jedes

i \in I N

sei

f (i) = (m_{i}, n_{i})

und

c_{i} = a_{m_{i}} b_{n_{i}}

Behauptung

:

$\sum_{i = 0}^{\infty} c_{i}$ ist absolut konvergent, und es ist $\sum_{i = 0}^{\infty} c_{i} = (\sum_{m = 0}^{\infty} a_{m}) \cdot (\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n}) = a \cdot b .$

Beweis. Wir zeigen zunächst, daß

\sum c_{i}

absolut konvergiert. g.z.z.: Die Folge der Partialsummen von

\sum | c_{i} |

ist nach oben beschränkt.

Nach Voraussetzung existiert für jedes

i \in I N

genau ein Paar

(m_{i}, n_{i}) \in I N \times I N,

so daß

f (i) = (m_{i}, n_{i}),

also

c_{i} = a_{m_{i}} b_{n_{i}} .

Wir bilden

S_{k} : = \sum_{i = 0}^{k} | c_{i} | = \sum_{i = 0}^{k} | a_{m_{i}} b_{n_{i}} | : = (⋆) .

Sei

l = max {m_{0}, \dots, m_{k}, n_{0}, \dots, n_{k}}

. Die Summanden aus

(⋆)

kommen unter den Summanden aus

| a_{0} b_{0} | + \dots + | a_{i} b_{j} | + \dots + | a_{l} b_{l} |

vor, wobei

i, j \leq l .

Dann ist

S_{k} = (⋆) \leq | a_{0} b_{0} | + \dots + | a_{i} b_{j} | + \dots + | a_{l} b_{l} |

= (\underset{: = S_{l}^{'}}{\underset{︸}{| a_{0} | + \dots + | a_{l} |}}) \cdot (\underset{: = S_{l}^{″}}{\underset{︸}{| b_{0} | + \dots + | b_{l} |}}) = S_{l}^{'} \cdot S_{l}^{″} .

\sum | a_{i} |, \sum | b_{i} |

nach Voraussetzung konvergieren, sind

(S_{n}^{'}), (S_{n}^{″})

beschränkt. Folglich ist

(S_{n}^{'} \cdot S_{n}^{″})

beschränkt und somit ist auch

(S_{k})

beschränkt. Hieraus ergibt sich die Konvergenz von

\sum | c_{i} |

und damit die absolute Konvergenz von

\sum c_{i} .

\sum c_{i}

absolut konvergiert, ist jede Umordnung von

\sum c_{i}

ebenfalls konvergent und zwar gegen den gleichen Wert. Wir betrachten eine spezielle Umordnung und Zusammenfassung bestimmter Summanden:

\sum_{i = 0}^{\infty} c_{i} = \sum_{i = 0}^{\infty} a_{m_{i}} b_{n_{i}} = \underset{: = c_{0}^{'}}{\underset{︸}{a_{0} b_{0}}} + (\underset{: = c_{1}^{'}}{\underset{︸}{a_{0} b_{1} + a_{1} b_{1} + a_{1} b_{0}}}) + \dots +

(\underset{: = c_{i}^{'}}{\underset{︸}{a_{0} b_{i} + a_{1} b_{i} + \dots + a_{i} b_{i} + a_{i} b_{i - 1} + \dots + a_{i} b_{0}}}) + \dots

S_{n}^{*} = \sum_{i = 0}^{n} c_{i}^{'}, S_{n}^{* *} = \sum_{i = 0}^{n} a_{i}

und

S_{n}^{* * *} = \sum_{i = 0}^{n} b_{i} .

Dann gilt für die oben angegebene Umordnung:

S_{n}^{*} = S_{n}^{* *} \cdot S_{n}^{* * *} .

Wegen

S_{n}^{* *} \to a, S_{n}^{* * *} \to b

gilt

S_{n}^{*} = S_{n}^{* *} \cdot S_{n}^{* * *} \to a \cdot b,

also

Bemerkung. Da bei absolut konvergenten Reihen die Reihenfolge der Glieder keine Rolle spielt, kann in der Produktreihe

\sum c_{n} = (\sum a_{i}) \cdot (\sum b_{j})

eine geeignete Reihenfolge ausgezeichnet werden. Dies führt zum sog. Cauchyprodukt.

Definition. (Cauchyprodukt)

\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n}

ist das Cauchyprodukt der Reihen

\sum_{i = 0}^{\infty} a_{i}

und

\sum_{j = 0}^{\infty} b_{j}

=Df

\sum c_{n} = (\sum a_{i}) \cdot (\sum b_{j})

= a_{0} b_{0} + (a_{0} b_{1} + a_{1} b_{0}) + (a_{0} b_{2} + a_{1} b_{1} + a_{2} b_{0}) +

(a_{0} b_{3} + a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} + a_{3} b_{0}) + \dots

= \sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{i + j = n}^{} a_{i} b_{j})

= \sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{i = 0}^{n} a_{i} b_{n - 1})

(für

j = n - i

Beispiel. Das Cauchyprodukt von absolut konvergenten Reihen ist wieder absolut konvergent. Es sei

| a | < 1 .

Dann ist

\sum_{i = 0}^{\infty} a^{i}

absolut konvergent und

\sum a^{i} = \frac{1}{1 - a} .

Folglich ist

\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} = (\underset{= \frac{1}{1 - a}}{\underset{︸}{\sum_{i = 0}^{\infty} a^{i}}}) \cdot (\underset{= \frac{1}{1 - a}}{\underset{︸}{\sum_{j = 0}^{\infty} a^{j}}}) = \frac{1}{{(1 - a)}^{2}}

= \sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{i + j = n}^{} \underset{a^{n}}{\underset{︸}{a^{i} a^{j}}})

= \sum_{n = 0}^{\infty} a^{n} \cdot (\underset{= n + 1}{\underset{︸}{\sum_{i + j = n}^{} 1}}) = \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) \cdot a^{n} .

Offenbar ist

| n \cdot a^{n} | \leq | (n + 1) \cdot a^{n} | .

Folglich ist

\sum (n + 1) | a |^{n}

eine konvergente Majorante von

\sum n | a^{n} | .

Dann ist

\sum n \cdot a^{n}

absolut konvergent, und damit gilt

\underset{= \frac{1}{{(1 - a)}^{2}}}{\underset{︸}{\sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) \cdot a^{n}}} - \underset{= \frac{1}{1 - a}}{\underset{︸}{\sum_{n = 0}^{\infty} a^{n}}} = \sum_{n = 0}^{\infty} n \cdot a^{n} .

\sum_{n = 0}^{\infty} n \cdot a^{n} = \frac{1}{{(1 - a)}^{2}} - \frac{1}{1 - a} = \frac{1 - (1 - a)}{{(1 - a)}^{2}} = \frac{a}{{(1 - a)}^{2}} .

(a_{m n}) = (\begin{matrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} & \dots \\ a_{10} & a_{11} & a_{12} & \dots \\ a_{20} & a_{21} & a_{22} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{matrix})

eine „unendliche Matrix“. Eine Matrix dieser Art nennen wir auch Doppelfolge. Die Doppelfolge

(a_{m n})

konvergiert gegen

a

, wenn für jedes

ε > 0

ein

n_{0}

existiert, so daß für alle

m, n \geq n_{0}

gilt:

| a_{m n} - a | < ε

. Bez.:

lim_{m, n \to \infty} a_{m n} = a

S_{m n} : = \sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{n} a_{i j} = (a_{00} + \dots + a_{0 n}) + (a_{10} + \dots + a_{1 n}) + \dots + (a_{m 0} + \dots + a_{m n})

Dann heißt (analog wie bei der Definition von Reihen) die Doppelfolge

(S_{m n})

auch Doppelreihe. Bez.:

(S_{m n}) : = \sum_{i, j = 0}^{\infty} a_{i j}

Die Doppelreihe konvergiert gegen

a

, wenn

(S_{m n})

gegen

a

konvergiert. Bez.:

lim_{m, n \to \infty} S_{m n} = \sum_{i, j = 0}^{\infty} a_{i j} = a

Es erhebt sich nun die Frage, ob man den Limes

lim_{m, n \to \infty} S_{m n}

(falls er existiert) auch so berechnen kann, indem man zunächst die Zeilensummen

b_{i} : = \sum_{j = 0}^{\infty} a_{i j}

bildet und anschließend die unendliche Summe der

b_{i}

betrachtet (falls diese Reihen konvergieren; eine entsprechende Frage könnte auch für die Spaltensummen gestellt werden). Unter gewissen Voraussetzungen kann der Limes tatsächlich so bestimmt werden. Aufschluß darüber gibt der folgende Satz.

Satz 4.15 $($ Großer Umordnungssatz $)$ Es sei $\sum_{i, j = 0}^{\infty} a_{i j}$ eine Doppelreihe, $φ : I N \to I N \times I N$ eine Bijektion, und für $φ (ν) = (i, j)$ sei $b_{ν} : = a_{i j}$ . Weiterhin sei $\sum_{ν = 0}^{\infty} b_{ν}$ absolut konvergent und $\sum b_{ν} = b$ . Dann gilt $:$

$(1)$ Jede Zeilenreihe $\sum_{j = 0}^{\infty} a_{i j} : = Z_{i}$ konvergiert absolut.

$(2)$ Jede Spaltenreihe $\sum_{i = 0}^{\infty} a_{i j} : = S_{j}$ konvergiert absolut.

$(3)$

Die Reihen

\sum_{i = 0}^{\infty} Z_{i}

und

\sum_{j = 0}^{\infty} S_{j}

konvergieren absolut, und es ist

\sum_{i = 0}^{\infty} Z_{i} = \sum_{i = 0}^{\infty} (\sum_{j = 0}^{\infty} a_{i j}) = \sum_{j = 0}^{\infty} (\sum_{i = 0}^{\infty} a_{i j}) = \sum_{j = 0}^{\infty} S_{j} = b

Beweis. Sei

| b_{ν} | = β_{ν}

. Nach Voraussetzung konvergiert

\sum β_{ν}

; es sei

\sum_{ν = 0}^{\infty} β_{ν} = β

. Wegen

β_{ν} \geq 0

ist die Summe je endlich vieler

β_{ν_{1}}, \dots, β_{ν_{k}}

stets

\leq β

. Damit erhält man

(1).

\sum_{j = 0}^{n} \underset{= β_{ν}}{\underset{︸}{| a_{i j} |}} \leq β

für alle

n

. Folglich ist

Z_{i} = \sum_{j = 0}^{\infty} a_{i j}

absolut konvergent.

(2). Weiterhin ist

\sum_{i = 0}^{m} | a_{i j} | \leq β

für alle

m

. Damit ist auch

S_{j} = \sum_{i = 0}^{\infty} a_{i j}

absolut konvergent.

(3). Es ist auch

\sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{n} | a_{i j} | \leq β

für alle

m, n

. Nach Behauptung (1) existiert

lim_{n \to \infty} \sum_{j = 0}^{n} | a_{i j} | : = α_{i}

. Folglich ist

lim_{n \to \infty} \underset{\leq β}{\underset{︸}{\sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{n} | a_{i j} |}} = \sum_{i = 0}^{m} lim_{n \to \infty} \sum_{j = 0}^{n} | a_{i j} | = \sum_{i = 0}^{m} \leq β

| Z_{i} | = | \sum_{j = 0}^{\infty} a_{i j} | = lim_{n \to \infty} | \sum_{j = 0}^{n} a_{i j} | \leq lim_{n \to \infty} \sum_{j = 0}^{n} | a_{i j} | = α_{i}

Es sei nun

ε > 0

. Dann existieren nach Voraussetzung bzw. nach den obigen Ausführungen natürliche Zahlen

n_{1}, n_{2}

, so daß für alle

n \geq n_{1}

und alle

k \geq 0

gilt:

Sei

n_{0} = max {n_{1}, n_{2}}

. In der Aufzählung

φ (0), φ (1), \dots, φ (n_{0})

kommen nur endlich viele Paare

(i, j) \in I N \times I N

vor. Folglich existiert ein

m_{0}

, so daß

φ (0), \dots, φ (n_{0})

schon in der Menge

{(i, j) : i \leq m_{0}, j \leq m_{0}}

auftreten.

| \sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{n} a_{i j} - b | = | b_{1} + \dots + b_{n_{0}} - b + r |

wobei

r

eine endliche Summe ist, die aus gewissen Gliedern

a_{i j} : = b_{ν}

besteht, deren Indizes

ν

größer als

n_{0}

sind.

Wegen

(⋆)

folgt mit Hilfe der Dreiecksungleichung

| r | < \frac{ε}{2}

. Also erhält man für alle

m, n \geq n_{0}

| \sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{n} a_{i j} - b | \leq | b_{1} + \dots + b_{n_{0}} - b | + | r | < ε

(⋆ ⋆)

| \sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{\infty} a_{i j} - b | = | \sum_{i = 0}^{m} Z_{i} - b | \leq ε

| \sum_{i = 0}^{\infty} Z_{i} - b | \leq ε \Rightarrow \sum_{i = 0}^{\infty} Z_{i} = b

Wegen

\sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{n} a_{i j} = \sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{n} a_{i j}

erhält man aus

(⋆ ⋆)

analog

| \sum_{j = 0}^{\infty} S_{j} - b | \leq ε \Rightarrow \sum_{j = 0}^{\infty} S_{j} = b

Korollar. Es sei

\sum_{i, j = 0}^{\infty} a_{i j}

eine Doppelreihe,

φ : I N \to I N \times I N

eine Bijektion, und für

φ (ν) = (i, j)

sei

b_{ν} : = a_{i j}

. Weiterhin sei jede Zeilenreihe

\sum_{j = 0}^{\infty} a_{i j}

absolut konvergent,

\sum_{j = 0}^{\infty} | a_{i j} | : = α_{i}

, und die Reihe

\sum α_{i}

sei ebenfalls konvergent. Dann gilt

:

Beweis. Es sei

\sum_{ν = 0}^{n} | b_{ν} |

eine Partialsumme von

\sum b_{ν}

. Dann gibt es eine Zahl

k

, so daß alle Paare

φ (0), \dots, φ (n)

in der Menge

{(i, j) : i \leq k, j \leq k}

vorkommen. Folglich ist

\sum_{ν = 0}^{n} | b_{ν} | \leq \sum_{i = 0}^{k} \sum_{j = 0}^{k} | a_{i j} | \leq \sum_{i = 0}^{k} \underset{= a_{i}}{\underset{︸}{\sum_{j = 0}^{\infty} | a_{i j} |}} = \sum_{i = 0}^{k} a_{i} \leq \sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} .

Dann ist die (monoton wachsende) Folge der Partialsummen von

\sum | b_{ν} |

nach oben beschränkt und folglich absolut konvergent. Damit sind alle Voraussetzungen von Satz 4.15 erfüllt und das Korollar bewiesen.

Wir führen jetzt die komplexen Zahlen ein, um sie für die Behandlung von sog. Potenzreihen zur Verfügung zu haben.

Wir setzen als bekannt voraus, daß

I R \times I R : = {I R}^{2}

einen zweidimensionalen Vektorraum mit den folgenden Operationen bildet:

Zur geometrischen Veranschaulichung der komplexen Zahlen betrachten wir in

{I R}^{2}

die kanonische Basis

{(1, 0), (0, 1)}

und erhalten so ein rechtwinkliges Koordinatensystem für

{I R}^{2}

, mit dessen Hilfe sich die Elemente aus

{I R}^{2}

als Punkte in der Ebene darstellen lassen

(

Gaußsche Zahlenebene

)

Jedes

(a, b) \in {I R}^{2}

läßt sich eindeutig als Linearkombination der Basis darstellen. Die folgenden Teilmengen

{(x, 0) : x \in I R}

und

{(0, y) : y \in I R}

bilden wichtige eindimensionale Teilräume, die mit den entsprechenden Koordinatenachsen identifiziert werden können.

Wir führen jetzt eine Multiplikation von Paaren in

{I R}^{2}

ein. Es sei

(a, b) \cdot (c, d) := (a c - b d, a d + b c) .

Satz 4.16 Mit den definierten Operationen $($ Addition und Multiplikation von Paaren $)$ bildet ${I R}^{2}$ einen Körper $l C$ $($ den Körper der komplexen Zahlen $)$ .

Beweis. Die Körperaxiome (1) – (4) (vgl. Eigenschaften reeller Zahlen) gelten schon, da

{I R}^{2}

als Vektorraum insbesondere eine additive abelsche Gruppe bildet mit

0 = (0, 0)

als neutralem Element bez.

+

und

(- a, - b)

als inversem Element von

(a, b)

. Es bleiben noch (5) – (10) zu beweisen, d.h., für alle

z_{1}, z_{2}, z_{3} \in {I R}^{2}

gilt: (5)

z_{1} (z_{2} z_{3}) = (z_{1} z_{2}) z_{3}

, (6)

z_{1} z_{2} = z_{2} z_{1}

. (7) Es existiert ein Element

1 \in {I R}^{2},

so daß

z \cdot 1 = z

für jedes

z \in {I R}^{2} .

(8) Für jedes

z \in {I R}^{2}

mit

z \neq 0,

existiert ein

u \in {I R}^{2},

so daß

z \cdot u = 1 .

(9)

z_{1} (z_{2} + z_{3}) = z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3}

, (10)

1 \neq 0

Zu (6). Es sei

z_{1} = (a_{1}, b_{1})

und

z_{2} = (a_{2}, b_{2}) \Rightarrow

z_{1} z_{2} = (a_{1}, b_{1}) \cdot (a_{2}, b_{2}) = (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}, a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2})

und

z_{2} z_{1} = (a_{2}, b_{2}) \cdot (a_{1}, b_{1}) = (a_{2} a_{1} - b_{2} b_{1}, a_{2} b_{1} + b_{2} a_{1})

z_{1} z_{2} = z_{2} z_{1} .

(5) und (9) analog ! (7).

1 = (1, 0)

leistet das Verlangte.

(a, b) \cdot (1, 0) = (a \cdot 1 - b \cdot 0, a \cdot 0 + b \cdot 1) = (a, b) .

(8). Es sei

z = (a, b) \neq (0, 0) \Rightarrow

a \neq 0

oder

b \neq 0,

und dies gilt gdw

a^{2} + b^{2} \neq 0 .

Behauptung:

u = (\frac{a}{a^{2} + b^{2}}, \frac{- b}{a^{2} + b^{2}})

leistet das Verlangte.

z \cdot u = (a, b) \cdot (\frac{a}{c}, - \frac{b}{c}) = (\frac{a^{2}}{c} - (- \frac{b^{2}}{c}), - \frac{a b}{c} + \frac{b a}{c})

Bemerkung. Man kann mit komplexen Zahlen im Prinzip rechnen wie mit reellen Zahlen, allerdings ist in

l C

keine Ordnung definiert.

Wir haben uns schon überlegt, daß

{(1, 0), (0, 1)}

eine Basis für den Vektorraum

{I R}^{2}

bildet. Der Teilraum

{x \cdot (1, 0) : x \in I R}

von

{I R}^{2}

ist offenbar isomorph mit

I R

(als 1-dimensionaler Vektorraum über

I R

). Daher identifizieren wir in Zukunft

(1, 0)

mit

1 .

Für

(0, 1)

schreibt man auch

i

(nicht zu verwechseln mit natürlichen Zahlen

i

), so daß durch

{1, i}

eine Basis für

{I R}^{2}

gegeben ist.

Für

a \cdot 1

bzw. für

b \cdot i

schreiben wir kurz

a

bzw.

i b .

Damit erhält man eine geeignete Darstellung für komplexe Zahlen:

Bez.: In

z = x + i y

heißt

x

Realteil ( := Re(

z

) ) und

y

Imaginärteil ( := Im(

z

) ) von

z .

Bemerkung. Aus der Definition der Multiplikation für komplexe Zahlen ergibt sich

i \cdot i = i^{2} = (0, 1) \cdot (0, 1) = (- 1, 0) = (- 1) \cdot (1, 0) = - 1 .

(a + i b) \cdot (c + i d) = (a, b) \cdot (c, d) = (a c - b d, a d + b c) = a c - b d + i (a d + b c) .

Berechnet man das Produkt (formal) wie in einem Körper, so entsteht dasselbe Ergebnis:

(a + i b) \cdot (c + i d) = a \cdot c + a \cdot i d + i b \cdot c + \underset{i^{2} \cdot d b}{\underset{︸}{i b \cdot i d}} = a c - b d + i \cdot (a d + b c) .

Definition. (Betrag für komplexe Zahlen) Es sei

z = x + i y .

| z | := \sqrt{x^{2} + y^{2}} .

Satz 4.17 Für komplexe Zahlen $z, z_{1}, z_{2}$ gilt $:$

\begin{array}{l} (1) | z_{1} | \geq 0, u n d | z | = 0 \Leftrightarrow z = 0, \\ (2) | - z | = | z |, (\Rightarrow | z_{1} - z_{2} | = | z_{2} - z_{1} |) \\ (3) | z_{1} \cdot z_{2} | = | z_{1} | \cdot | z_{2} |, (\Rightarrow | z^{n} | = {| z |}^{n}) \\ (4) | \frac{z_{1}}{z_{2}} | = \frac{| z_{1} |}{| z_{2} |}, f a l l s z_{2} \neq 0, \\ (5) | z_{1} + z_{2} | \leq | z_{1} | + | z_{2} |, \\ (6) | | z_{1} | - | z_{2} | | \leq | z_{1} - z_{2} | . \end{array}

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \geq 0; \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 0 \Leftrightarrow a = b = 0 \Leftrightarrow z = 0 .

| z_{1} \cdot z_{2} | = | a_{1} a_{2} + i^{2} \cdot b_{1} b_{2} + i a_{1} b_{2} + i b_{1} a_{2} |

= \sqrt{{(a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2})}^{2} + {(a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2})}^{2}}

= \sqrt{a_{1}^{2} a_{2}^{2} - 2 a_{1} a_{2} b_{1} b_{2} + b_{1}^{2} b_{2}^{2} + a_{1}^{2} b_{2}^{2} + 2 a_{1} b_{2} b_{1} a_{2} + b_{1}^{2} a_{2}^{2}}

= \sqrt{a_{1}^{2} (a_{2}^{2} + b_{2}^{2}) + b_{1}^{2} (b_{2}^{2} + a_{2}^{2})}

= \sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} \cdot \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}} = | z_{1} | \cdot | z_{2} | .

|\frac{u}{z}| = |u \cdot \frac{1}{z}| = | u | \cdot |\frac{1}{z}| = | u | \cdot \frac{1}{| z |} = \frac{| u |}{| z |} .

| \frac{1}{z} | = \sqrt{\frac{a^{2}}{c^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}}} = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}} = \sqrt{\frac{1}{c}} = \frac{1}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = \frac{1}{| z |} .

(5). Es sei

z_{n} = a_{n} + i b_{n}, n = 1, 2 .

Dann ist die linke Seite

l s

von (5):

l s : = | a_{1} + i b_{1} + a_{2} + i b_{2} | = | a_{1} + a_{2} + i (b_{1} + b_{2}) | = \sqrt{{(a_{1} + a_{2})}^{2} + {(b_{1} + b_{2})}^{2}}

r s : = | a_{1} + i b_{1} | + | a_{2} + i b_{2} | = \sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} + \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}} .

{(a_{1} + a_{2})}^{2} + {(b_{1} + b_{2})}^{2} \leq (a_{1}^{2} + b_{1}^{2}) + 2 \sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} \cdot \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}} + (a_{2}^{2} + b_{2}^{2}) \Leftrightarrow

2 (\underset{: = (⋆)}{\underset{︸}{a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}}}) \leq 2 \cdot \underset{: = (⋆ ⋆)}{\underset{︸}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} \cdot \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}}} .

Ist

(⋆) < 0,

dann gilt offenbar die letzte Ungleichung und damit

l s \leq r s .

(⋆) \leq (⋆ ⋆) \Leftrightarrow {(⋆)}^{2} \leq {(⋆ ⋆)}^{2} \Leftrightarrow

{(a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2})}^{2} \leq (a_{1}^{2} + b_{1}^{2}) (a_{2}^{2} + b_{2}^{2}) \Leftrightarrow

a_{1}^{2} a_{2}^{2} + 2 a_{1} a_{2} b_{1} b_{2} + b_{1}^{2} b_{2}^{2} \leq a_{1}^{2} a_{2}^{2} + a_{1}^{2} b_{2}^{2} + b_{1}^{2} a_{2}^{2} + b_{1}^{2} b_{2}^{2} \Leftrightarrow

0 \leq {(a_{1} b_{2})}^{2} - 2 a_{1} b_{2} b_{1} a_{2} + {(b_{1} a_{2})}^{2} = {(a_{1} b_{2} - b_{1} a_{2})}^{2} .

Bemerkung. Da die komplexen Zahlen einen Körper bilden, kann man mit ihnen entsprechend der Axiome I (1 – 10) rechnen (vgl. Kapitel 2, 2/1/1). Insbesondere lassen sich in

l C

analog wie in

I R

Folgen und Reihen bilden. Alle Definitionen und Sätze für Folgen und Reihen (mit reellen Zahlen), bei denen die Ordnung der Glieder keine Rolle spielt, gelten entsprechend auch für die komplexen Zahlen. Insbesondere hat man:

Definition. (Konvergenz) Es sei

(z_{n}) = {(a_{n} + i b_{n})}_{n = 0, 1, 2, \dots}

eine Folge von komplexen Zahlen und

z = a + i b .

(z_{n})

konvergiert gegen

z

=Df Für jedes

ε > 0

existiert ein

n_{0},

so daß für jedes

n \geq n_{0}

gilt:

| z_{n} - z | < ε .

Satz 4.18 $(z_{n}) = (a_{n} + i b_{n})$ konvergiert gegen $z = a + i b$ gdw $a_{n} \to a$ und $b_{n} \to b .$ (Konvergenz in $l C$ bedeutet also komponentenweise Konvergenz.)

Beweis. Es ist

| z_{n} - z | = | a_{n} + i b_{n} - (a + i b) | = | a_{n} - a + i (b_{n} - b) | \leq | a_{n} - a | + \underset{= 1}{\underset{︸}{| i |}} \cdot | b_{n} - b | .

(\leftarrow)

Wenn

a_{n} \to a

und

b_{n} \to b,

dann gilt: Für jedes

ε > 0

existiert ein

n_{0},

so daß für jedes

n \geq n_{0} :

| a_{n} - a | < \frac{ε}{2}, | b_{n} - b | < \frac{ε}{2} .

(\to)

| z_{n} - z | = \sqrt{{(a_{n} - a)}^{2} + {(b_{n} - b)}^{2}} < ε

(für fast alle

n

)

\Rightarrow

{(a_{n} - a)}^{2} + {(b_{n} - b)}^{2} < ε^{2} \Rightarrow

{(a_{n} - a)}^{2}, {(b_{n} - b)}^{2} < ε^{2} \Rightarrow

| a_{n} - a |, | b_{n} - b | < ε \Rightarrow

a_{n} \to a, b_{n} \to b .

Bemerkung. Für Reihen mit komplexen Gliedern gelten insbesondere:

das Cauchysche Konvergenzkriterium und die daraus resultierenden Korollare;
das Wurzel- und Quotientenkriterium;
absolute Konvergenz zieht Konvergenz nach sich.

Nicht verwendbar (weil die Ordnung benutzt wird) sind das Leibnizkriterium und das Majorantenkriterium. (Das Majorantenkriterium läßt sich jedoch in manchen Fällen für die absolute Konvergenz nutzen, indem man z.B. eine konvergente Majorante von

\sum_{}^{} | z_{n} |

zu finden versucht.)

Definition. (Potenzreihe) Es sei

(a_{n})

eine Folge von (reellen oder komplexen) Zahlen und

a, x

seien ebenfalls reell oder komplex. Dann heißt

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x - a)}^{n}

Potenzreihe in

x - a

mit den Koeffizienten

a_{n} .

Achtung: Der Bequemlichkeit halber verabreden wir für Potenzreihen (und nur für Potenzreihen), daß stets

{(x - a)}^{0} = 1

ist, auch für

x = a .

Es erhebt sich die Frage: Für welche (reellen oder komplexen) Zahlen

x

ist die Potenzreihe

\sum a_{n} {(x - a)}^{n}

für fixiertes

a

konvergent?

1. Es sei

a_{n} = \frac{1}{n!}, a = 0,

also

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x - a)}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} .

Diese Reihe konvergiert (nach dem Quotientenkriterium) für alle reellen oder komplexen

x .

2. Sei

a_{n} = n, a = 0,

also

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x - a)}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} n \cdot x^{n} .

Diese Reihe konvergiert für alle

| x | < 1

und divergiert für alle

| x | > 1

(man kann wieder das Quotientenkriterium benutzen). Der Fall

| x | = 1

muß gesondert untersucht werden. Offenbar ist aber

(n \cdot | x |)

keine Nullfolge, folglich ist die Reihe für

| x | = 1

divergent.

3. Sei

a_{n} = \frac{1}{n}, a = 0,

also

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x - a)}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot x^{n} .

Diese Reihe konvergiert für alle

| x | < 1

und divergiert für alle

| x | > 1 .

Für

x = 1

erhält man die harmonische Reihe, die bekanntlich nicht konvergiert, und für

x = - 1

entsteht eine spezielle alternierende Reihe, die (nach dem Leibnizkriterium) konvergiert. Für komplexe

x

mit

| x | = 1

und

x \neq \pm 1

müßten gesonderte Untersuchungen durchgeführt werden.

4. Sei

a_{n} = n^{n}, a = 0,

also

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x - a)}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} n^{n} \cdot x^{n} .

Bemerkung. Die Konvergenzgebiete der untersuchten Potenzreihen sind recht unterschiedlich. Die Reihe in dem ersten Beispiel konvergiert für alle Elemente in

I R

bzw. in

l C

(je nachdem, ob man nur reelle oder auch komplexe Zahlen zuläßt). In dem zweiten Beispiel konvergiert die Reihe in dem offenen Intervall

(- 1, 1)

und divergiert außerhalb (im reellen Fall) bzw. sie konvergiert in der offenen Kreisscheibe

{x \in l C : | x | < 1}

, und sie divergiert außerhalb (im komplexen Fall). Das dritte Beispiel zeigt, daß es auf dem Rand des Konvergenzgebietes einer Potenzreihe (d.h. in den Endpunkten des Intervalls bzw. auf der Kreislinie) Punkte geben kann, wo die Reihen konvergieren bzw. divergieren. Im vierten Beispiel ist eine Reihe gegeben, deren Konvergenzgebiet auf einen Punkt zusammenschrumpft. In den betrachteten Beispielen, konvergieren die Potenzreihen stets innerhalb eines offenen Intervalls bzw. Kreises und sie divergieren außerhalb; auf dem Rande ist beides möglich. (Kreise bzw. Intervalle dürfen auch ausarten zu ganz

I R

bzw.

l C

oder zu einem Punkt.)

Wir wollen jetzt untersuchen, ob dies für alle Potenzreihen immer der Fall ist. Dazu formulieren wir zunächst eine Definition.

Definition. (Konvergenzradius) Es sei

ρ

eine nicht-negative reelle Zahl oder

ρ = \infty .

ρ

heißt Konvergenzradius von

\sum a_{n} {(x - a)}^{n}

=Df

Für jedes

x

gilt: Wenn

| x - a | < ρ

, so ist

\sum a_{n} {(x - a)}^{n}

absolut konvergent, und wenn

| x - a | > ρ

, so ist

\sum a_{n} {(x - a)}^{n}

divergent. (Hierbei soll immer gelten:

{x : | x - a | < \infty} = I R

bzw.

= l C

und

{x : | x - a | > \infty} = \emptyset .

)

Wir werden nun zeigen, daß Potenzreihen tatsächlich immer innerhalb eines Intervalls bzw. Kreises konvergieren und außerhalb divergieren (der Radius des Kreises erweist sich als Konvergenzradius).

Bemerkung. Im folgenden betrachten wir Potenzreihen in

l C .

Wegen

I R \subseteq l C

gelten die Resultate auch für

I R,

falls die Koeffizienten

a_{n}

und

a

I R

liegen.

Satz 4.19 Es seien $a_{n}, a \in l C$ .

$(1)$ Ist $\sum a_{n} {(x - a)}^{n}$ an einer Stelle $x = x_{0}$ konvergent, dann ist $\sum a_{n} {(x - a)}^{n}$ für alle $x \in l C$ mit $| x - a | < | x_{0} - a |$ absolut konvergent.

$(2)$ Ist $\sum a_{n} {(x - a)}^{n}$ an einer Stelle $x = x_{1}$ divergent, dann ist $\sum a_{n} {(x - a)}^{n}$ für alle $x \in l C$ mit $| x - a | > | x_{1} - a |$ divergent.

Beweis. (1). Ist

x_{0} = a,

dann existiert kein

x

mit

| x - a | < | x_{0} - a | .

Damit ist die Behauptung trivialerweise erfüllt. Es sei jetzt

x_{0} \neq a

. Nach Voraussetzung ist die Reihe in

x_{0}

konvergent. Folglich ist

(a_{n} {(x_{0} - a)}^{n})

eine Nullfolge, und somit ist

| a_{n} {(x_{0} - a)}^{n} | \leq 1

für fast alle

n .

Sei

x

jetzt beliebig aber fixiert mit der Eigenschaft

| x - a | < | x_{0} - a |

. Dann gilt

Hieraus konstruieren wir eine konvergente Majorante für

\sum_{}^{} | a_{n} {(x - a)}^{n} | .

Es ist

| a_{n} {(x - a)}^{n} | = | a_{n} \cdot \frac{{(x - a)}^{n}}{{(x_{0} - a)}^{n}} \cdot {(x_{0} - a)}^{n} | =

\underset{\leq 1}{\underset{︸}{| a_{n} {(x_{0} - a)}^{n} |}} \cdot \underset{= q^{n}}{\underset{︸}{|\frac{{(x - a)}^{n}}{{(x_{0} - a)}^{n}}|}} \leq q^{n}

und

0 \leq q < 1 .

\sum q^{n}

ist als geometrische Reihe für

| q | < 1

konvergent, folglich ist

\sum q^{n}

eine konvergente Majorante von

\sum | a_{n} {(x - a)}^{n} | .

Daher ist

\sum a_{n} {(x - a)}^{n}

absolut konvergent für

x .

(2). Sei

| x - a | > | x_{1} - a |

und

\sum a_{n} {(x_{1} - a)}^{n}

divergent. Wäre

\sum a_{n} {(x - a)}^{n}

konvergent, dann wäre

\sum a_{n} {(x_{1} - a)}^{n}

nach (1) absolut konvergent. PICT

Satz 4.20 Jede Potenzreihe besitzt einen Konvergenzradius $ρ$ , der auch 0 oder $\infty$ sein kann.

Beweis. Sei

\sum a_{n} {(x - a)}^{n}

eine beliebige Potenzreihe. 1. Fall: Die Reihe konvergiert nur für

x = a .

Dann ist

ρ = 0 .

2. Fall: Die Reihe konvergiert für alle

x \in l C .

Dann konvergiert die Reihe absolut für alle

x

(nach Satz 4.19). Folglich ist

ρ = \infty .

3. Fall:

\sum a_{n} {(x - a)}^{n}

konvergiert für ein

x_{0} \neq a

und divergiert für ein

x_{1}

(vgl. Abb. 4.2).

M = {r \in I R :

es gibt ein

x \in l C,

so daß

| x - a | = r

und

\sum a_{n} {(x - a)}^{n}

konvergiert

} .

Dann ist

M \neq \emptyset,

denn

0 \in M .

Es sei

r_{1} = | x_{1} - a | .

Nach Voraussetzung ist

\sum a_{n} {(x_{1} - a)}^{n}

divergent. Folglich gilt (nach Satz 4.19(2)): Wenn

r^{'} > r_{1},

so ist

r^{'} \notin M .

Dann ist

M

nach oben beschränkt (z.B. durch

r_{1}

), besitzt also ein Supremum; es sei

ρ : = sup M .

Zu 1. Sei

| x - a | < ρ .

Dann existiert (nach Definition des Supremums) ein

r^{'} \in I R,

so daß

| x - a | < r^{'} \leq ρ

und

r^{'} \in M .

Nach Definition von

M

existiert ein

x^{'} \in l C,

so daß

| x^{'} - a | = r^{'}

und

\sum a_{n} {(x^{'} - a)}^{n}

konvergiert. Wegen

| x - a | < r^{'} = | x^{'} - a |

ist dann (nach Satz 4.19(1))

\sum a_{n} {(x - a)}^{n}

absolut konvergent.

Zu 2. Sei

| x - a | > ρ .

Wäre

\sum a_{n} {(x - a)}^{n}

konvergent, so wäre

r = | x - a | \in M

und

r > ρ,

folglich wäre

ρ

nicht

sup M .

Bemerkung. Die offene Kreisscheibe in

l C

mit dem Mittelpunkt

a

und dem Radius

ρ

(bzw. das offene Intervall in

I R

mit dem Mittelpunkt

a

und der Länge

2 ρ

) heißt Konvergenzgebiet oder Konvergenzkreis (bzw. Konvergenzintervall ) und

a

heißt Mittelpunkt der Potenzreihe

\sum a_{n} {(x - a)}^{n} .

Innerhalb dieser offenen Kreisscheibe (bzw. des offenen Intervalls) konvergiert die Potenzreihe absolut, außerhalb divergiert sie; auf dem Rande kann sowohl Konvergenz als auch Divergenz vorliegen (man betrachte das Beispiel

\sum \frac{x^{n}}{n}

für

x = \pm 1

Satz 4.21 Es sei $\sum a_{n} {(x - a)}^{n}$ eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius $ρ,$ und es sei $l = lim^{‾} \sqrt[n]{| a_{n} |} .$ Dann gilt $:$

$(1)$ Wenn $0 < l < \infty,$ so $ρ =$ $\frac{1}{l}$ .

$(2)$ Wenn $l = 0,$ so $ρ = \infty .$

$(3)$ Wenn $l = \infty,$ so $ρ = 0 .$

Bemerkung. Da einer der drei Fälle immer auftritt, kann man auf diese Weise den Konvergenzradius bestimmen. Zur Übung untersuche man noch einmal die letzten Beispiele 1. – 4. Existieren

lim \sqrt[n]{| a_{n} |}

bzw.

lim | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} |

oder haben sie den uneigentlichen Grenzwert

\infty

, dann ist

l = lim \sqrt[n]{| a_{n} |}

bzw.

l = lim | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} |

(in Satz 4.21). Dies kann bei der Bestimmung des Konvergenzradius genutzt werden.

Satz 4.22 $($ Summe von Potenzreihen $)$

Es seien $\sum a_{n} {(x - a)}^{n}$ und $\sum b_{n} {(x - a)}^{n}$ Potenzreihen mit den Konvergenzradien $ρ_{1}$ bzw. $ρ_{2}$ und $α, β$ seien reelle oder komplexe Zahlen. Dann gilt $:$

$(1)$

Die Potenzreihe

\sum (α \cdot a_{n} + β \cdot b_{n}) \cdot {(x - a)}^{n}

hat einen Konvergenzradius

ρ \geq min {ρ_{1}, ρ_{2}} .

$(2)$

Für

| x - a | < min {ρ_{1}, ρ_{2}}

ist

\sum (α \cdot a_{n} + β \cdot b_{n}) \cdot {(x - a)}^{n} = α \cdot \sum a_{n} {(x - a)}^{n} + β \cdot \sum b_{n} {(x - a)}^{n} .

Beweis. Der Beweis erfolgt sehr leicht mit Hilfe der Sätze über Folgen (von Partialsummen) und über Reihen.

Satz 4.23 $($ Produkt von Potenzreihen $)$ Es seien $\sum a_{n} {(x - a)}^{n}$ und $\sum b_{n} {(x - a)}^{n}$ Potenzreihen mit den Konvergenzradien $ρ_{1}$ bzw. $ρ_{2},$ und es sei $c_{n} = \sum_{i + j = n}^{} a_{i} b_{j} (= \sum_{ν = 0}^{n} a_{ν} b_{n - ν}) .$ Dann gilt $:$

$(1)$

Die Potenzreihe

\sum c_{n} {(x - a)}^{n}

hat einen Konvergenzradius

ρ \geq min {ρ_{1}, ρ_{2}} .

(2)

Für

| x - a | < min {ρ_{1}, ρ_{2}}

ist

(\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x - a)}^{n}) \cdot (\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} {(x - a)}^{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n} .

Beweis. Für

| x - a | < min {ρ_{1}, ρ_{2}}

konvergieren beide Potenzreihen absolut; folglich läßt sich ihr Cauchyprodukt bilden (vgl. Satz 4.14), das auch wenigstens dort absolut konvergiert. Also

ρ \geq min {ρ_{1}, ρ_{2}}

und

(\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x - a)}^{n}) \cdot (\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} {(x - a)}^{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{ν = 0}^{n} a_{ν} {(x - a)}^{ν} \cdot b_{n - ν} {(x - a)}^{n - ν})

= \sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{ν = 0}^{n} a_{ν} b_{n - ν} \cdot {(x - a)}^{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(x - a)}^{n} \cdot \underset{= c_{n}}{\underset{︸}{\sum_{ν = 0}^{n} a_{ν} b_{n - ν}}} = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n} .

Für

| x - a | < min {ρ_{1}, ρ_{2}}

konvergiert

\sum c_{n} {(x - a)}^{n}

absolut (vgl. Satz 4.14).

Satz 4.24 $($ Umordnen von Potenzreihen $)$ Voraussetzungen $:$

$(1)$ Es sei $\sum a_{n} {(x - a)}^{n}$ eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius $ρ > 0 .$

$(2)$ Weiterhin sei $b \neq a, | b - a | < ρ$ und $ρ - | b - a | = ρ^{'} (> 0) .$

Behauptung $:$

Es gibt eine Potenzreihe $\sum b_{n} {(x - b)}^{n}$ mit einem Konvergenzradius $\geq ρ^{'},$ so daß für jedes $x$ mit $| x - b | < ρ^{'}$ gilt $:$

$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x - a)}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} {(x - b)}^{n},$ wobei $b_{n} = \sum_{m = n}^{\infty} a_{m} (\binom{m}{n}) {(b - a)}^{m - n} .$

(Bez.: $\sum b_{n} {(x - b)}^{n}$ entsteht aus $\sum a_{n} {(x - a)}^{n}$ durch Umordnung nach Potenzen von $(x - b)$ .)

= \sum_{m = 0}^{n} \underset{: = a_{n m}}{\underset{︸}{a_{n} (\binom{n}{m}) {(x - b)}^{m} {(b - a)}^{n - m}}}

= \sum_{m = 0}^{n} a_{n m} = \sum_{m = 0}^{\infty} a_{n m} .

(wegen

(\binom{n}{m}) = 0

für

m > n

)

\sum_{m = 0}^{\infty} | a_{n m} | = \sum_{m = 0}^{n} | a_{n m} | = | a_{n} | \cdot \sum_{m = 0}^{n} (\binom{n}{m}) | x - b |^{m} | b - a |^{n - m}

Da Potenzreihen innerhalb ihres Konvergenzgebietes absolut konvergieren und nach Voraussetzung stets

| x - b | + | b - a | < ρ

ist, konvergiert

\sum α_{n}

absolut. Damit sind die Voraussetzungen für das Korollar erfüllt. Folglich gilt:

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x - a)}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} ((x - b) + (b - a))^{n}

= \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{m = 0}^{n} a_{n} (\binom{n}{m}) {(x - b)}^{m} {(b - a)}^{n - m}

= \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{m = 0}^{\infty} a_{n} (\binom{n}{m}) {(x - b)}^{m} {(b - a)}^{n - m}

= \sum_{m = 0}^{\infty} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (\binom{n}{m}) {(x - b)}^{m} {(b - a)}^{n - m}

(nach dem Korollar)

= \sum_{m = 0}^{\infty} (\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (\binom{n}{m}) {(b - a)}^{n - m}) {(x - b)}^{m}

= \sum_{m = 0}^{\infty} (\sum_{n = m}^{\infty} \underset{= c_{n}}{\underset{︸}{a_{n} (\binom{n}{m}) {(b - a)}^{n - m}}}) {(x - b)}^{m}

; (

(\binom{n}{m}) = 0

für

n < m

)

Satz 4.25 $($ Identitätssatz für Potenzreihen $)$ Voraussetzungen $:$

$(1)$

Es seien

\sum a_{n} {(x - a)}^{n}

und

\sum b_{n} {(x - a)}^{n}

Potenzreihen mit den Konvergenzradien

ρ_{1}

bzw.

ρ_{2}

und

ρ_{1}, ρ_{2} > 0 .

(2)

(x_{ν})

sei eine Folge mit

x_{ν} \neq a, lim x_{ν} = a

und

| x_{ν} - a | < ρ_{1}, ρ_{2} .

(3)

Für jedes

ν \in I N

gilt

:

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x_{ν} - a)}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} {(x_{ν} - a)}^{n} .

Behauptung

:

Für jedes

n

ist

a_{n} = b_{n} .

(D.h., stimmen zwei Potenzreihen in unendlich vielen Punkten

x_{ν}

überein und ist der Mittelpunkt

a

der Potenzreihen wenigstens ein Häufungspunkt dieser Menge, dann stimmen die Reihen schon koeffizientenweise überein, sie sind also identisch.)

Lemma. Es sei

\sum c_{n} {(x - a)}^{n}

eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius

ρ > 0

, und sei

(x_{ν})

eine Folge mit

x_{ν} \neq a, | x_{ν} - a | < ρ

und

lim x_{ν} = a .

Dann ist

lim_{ν \to \infty} \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x_{ν} - a)}^{n} = c_{0} .

Beweis. Nach Voraussetzung ist

| x_{ν} - a | < ρ .

Wegen

x_{ν} \to a

existiert ein

n_{0},

so daß für alle

ν \geq n_{0}

gilt:

| x_{ν} - a | < \frac{ρ}{2} < ρ .

Da Potenzreihen innerhalb ihres Konvergenzkreises absolut konvergieren, ist

\sum_{n = 0}^{\infty} | c_{n} (\frac{ρ}{2})^{n} |

konvergent. Damit ist offenbar auch

\sum_{n = 1}^{\infty} | c_{n} (\frac{ρ}{2})^{n - 1} |

konvergent. Sei

\sum_{n = 1}^{\infty} | c_{n} (\frac{ρ}{2})^{n - 1} | < c .

Für

ε > 0

existiert ein

m_{0},

so daß für alle

ν \geq m_{0}

gilt:

| x_{ν} - a | < \frac{ε}{c} .

Ist

k_{0} = max {m_{0}, n_{0}}

und

ν \geq k_{0},

dann ist

| \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x_{ν} - a)}^{n} - c_{0} | = | \sum_{n = 1}^{\infty} c_{n} {(x_{ν} - a)}^{n} | \leq \sum_{n = 1}^{\infty} | c_{n} | \cdot | {(x_{ν} - a)}^{n} | =

| x_{ν} - a | \cdot \sum_{n = 1}^{\infty} | c_{n} | \cdot {\underset{< \frac{ρ}{2}}{\underset{︸}{| x_{ν} - a |}}}^{n - 1} \leq | x_{ν} - a | \cdot \underset{< c}{\underset{︸}{\sum_{n = 1}^{\infty} | c_{n} | \cdot (\frac{ρ}{2})^{n - 1}}} < c \cdot \underset{< \frac{ε}{c}}{\underset{︸}{| x_{ν} - a |}} < ε .

Es sei

c_{n} = a_{n} - b_{n} .

g.z.z.:

c_{n} = 0

für jedes

n .

Für alle

x_{ν}

mit

| x_{ν} - a | < ρ_{1}, ρ_{2}

gilt nach Voraussetzung:

0 = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x_{ν} - a)}^{n} - \sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} {(x_{ν} - a)}^{n} =

\sum_{n = 0}^{\infty} (a_{n} - b_{n}) \cdot {(x_{ν} - a)}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x_{ν} - a)}^{n} .

n = 0 .

Es ist

0 = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x_{ν} - a)}^{n} \Rightarrow 0 = lim_{ν \to \infty} \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x_{ν} - a)}^{n} = c_{0} .

0 = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x_{ν} - a)}^{n} = \sum_{n = k + 1}^{\infty} c_{n} {(x_{ν} - a)}^{n}

= {(x_{ν} - a)}^{k + 1} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n + k + 1} {(x_{ν} - a)}^{n} .

Bemerkung. Als Folgerung erhält man sofort: Stimmen zwei Potenzreihen in einem „kleinen Intervall“ überein, dann sind sie schon identisch. Es sei hier ein Ausblick auf eine spätere wichtige Anwendung des Lemmas gegeben. Mit Potenzreihen lassen sich auf einfache Weise Funktionen definieren:

f (x) : = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x - a)}^{n}

, wobei

f (x)

dann im Konvergenzgebiet der Potenzreihe definiert ist. Es gilt offenbar

f (a) = a_{0},

und aus dem Lemma erhält man: Wenn

x_{ν} \to a,

f (x_{ν}) \to f (a) .

Hieraus folgt, daß die Funktion wenigstens an der Stelle

x = a

stetig ist (dieser Begriff ist natürlich noch zu definieren). Aus der Stetigkeit an einer Stelle folgt bei einigen wichtigen Funktionen schon die Stetigkeit im gesamten Definitionsbereich (z.B. für die Sinusfunktion und die Exponentialfunktion, mit deren Hilfe sich weitere elementare Funktionen definieren lassen).

In den späteren Kapiteln werden wir uns noch ausführlicher mit weiteren Eigenschaften von Funktionenfolgen und -reihen befassen, insbesondere werden wir Untersuchungen zur Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit der Grenzfunktion bei gleichmäßiger konvergenz vornehmen.