Wir betrachten zunächst die (formale) unendliche Summe

     ${\sum }_{i=0}^{\infty }{a}_i=a_0+a_1+a_2+a_3+\cdots$

und setzen $S_n=a_0+\cdots +a_n$ für $n\ge 0.$ Dadurch entsteht eine Folge $\left(S_n\right)$ von endlichen Summen, die wir für die Definition von unendlichen Reihen benutzen.

Definition. (Reihe) Es sei ${\left(a_n\right)}_{n=0,1,2,\dots }$ eine Folge von reellen Zahlen. Die Folge ${\left(S_n\right)}_{n=0,1,2,\dots }$ mit $S_n={\sum }_{i=0}^n{a}_i$ heißt Folge der Partialsummen von $\left(a_n\right)$ oder unendliche Reihe (kurz Reihe).      Bez.: $\left(S_n\right)={\sum }_{i=0}^{\infty }{a}_i=\sum a_i$