$$ Beispiel. (Geometrische Reihe) Sei $\left|a\right|<1$ und $a\ne 0$. Dann konvergiert ${\sum }_{i=0}^{\infty }{a}^i$ gegen $\frac{1}{1-a};$ ($\sum a^i$ heißt geometrische Reihe).

Beweis. Für $S_n=1+a+\cdots +a^n$ ist

     $S_n\left(1-a\right)=\left(1+\cdots +a^n\right)\left(1-a\right)=1+\cdots +a^n-\left(a+\cdots +a^{n+1}\right)$

          $=1-a^{n+1}.$

Hieraus erhält man

     $S_n=\frac{1-a^{n+1}}{1-a}.$

Damit ist der Wert der $n$-ten Partialsumme berechnet. Wegen $lim{a}^{n+1}=0$ erhält man aus den Eigenschaften konvergenter Folgen (vgl. Beispiel 2 in Kapitel 3, vor dem Satz 3.2)

     $\underset{n\to \infty }{lim}{S}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{1-a^{n+1}}{1-a}=\frac{1}{1-a}\cdot \underset{=1}{\underbrace{\underset{n\to \infty }{lim}\left(1-a^{n+1}\right)}}=\frac{1}{1-a}.$

Also

     ${\sum }_{i=0}^{\infty }{a}^i=\frac{1}{1-a}.$