$$ Beispiele.

2. (Die Glieder einer Reihe dürfen nicht beliebig „umsortiert“ werden.) Wir betrachten die Reihe aus Beispiel 1 und nehmen an, daß man die Glieder einer Reihe beliebig umsortieren darf, ohne das Konvergenzverhalten zu verändern. Dann gilt:

    $a=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\pm \cdots$

     $=\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots -\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}-\cdots$ (umsortiert)

     $=\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots +\underset{=0}{\underbrace{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\pm \cdots }}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}-\cdots$ (0 addiert)

     $=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}-\frac{1}{6}-\cdots$ (umsortiert)

     $=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots -\frac{1}{1}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\cdots$

     $=\frac{1}{1}-\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\pm \cdots =0$   ! (umsortiert und addiert)