$$ Beispiele.

3. ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ ist nicht konvergent. (Harmonische Reihe) Diese Reihe dient gleichzeitig als Beispiel dafür, daß eine konvergente Reihe nicht absolut konvergent sein muß. (vgl. Beispiel 1.)

Es sei $S_n=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}.$ Wir betrachten jetzt die $2^n$-te Partialsumme

     $S_{2^n}=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{2^n}$

und bilden

     $S_{2^{n+1}}-S_{2^n}=\frac{1}{2^n+1}+\frac{1}{2^n+2}+\cdots +\frac{1}{2^n+2^n}$

      (jeder dieser $2^n$ Summanden ist größer oder gleich $\frac{1}{2^{n+1}}$)

           $\ge 2^n\cdot \frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}$ für beliebiges $n.$

Dann gilt:

     $S_{2^n}=S_{2^0}-S_{2^0}+S_{2^1}-S_{2^1}+\cdots +S_{2^{n-1}}-S_{2^{n-1}}+S_{2^n}$

       $=\underset{=1}{\underbrace{S_{2^0}}}+\underset{\ge \frac{1}{2}}{\underbrace{S_{2^1}-S_{2^0}}}+\underset{\ge \frac{1}{2}}{\underbrace{S_{2^2}-S_{2^1}}}+\cdots +\underset{\ge \frac{1}{2}}{\underbrace{S_{2^n}-S_{2^{n-1}}}}$

       $\ge 1+n\cdot \frac{1}{2}.$

Die Teilfolge $\left(S_{2^i}\right)$ von $\left(S_n\right)$ ist also unbeschränkt, und somit ist $\left(S_n\right)=\sum \frac{1}{n}$ nicht konvergent.

Da $\left(S_n\right)$ monoton wächst, ist $\sum \frac{1}{n}$ bestimmt divergent gegen $+\infty$.