$$ Beispiele.

4. Ist ${\sum }_{i=0}^{\infty }{a}_i$ alternierend und $a_i\to 0$ aber $\left(\left|a_i\right|\right)$ nicht monoton fallend, dann muß $\sum a_i$ nicht konvergent sein.

Sei  $a_i=\{\begin{array}{l}\frac{1}{n+1}\text{ falls }i\text{ ungerade und }i=2n+1\hfill \\ -\frac{1}{2^n}\text{ falls }i\text{ gerade und }i=2n.\hfill \end{array}$

Also

     ${\sum }_{i=0}^{\infty }{a}_i=-\frac{1}{2^0}+\frac{1}{1}-\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\mp \cdots$

Wir betrachten $S_{2^{m+1}}=a_0+\cdots +a_{2^{m+1}}.$

Summiert man in dieser endlichen Summe die $a_i$ mit ungeradem Index $i,$ so erhält man

     $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^m}\ge 1+m\cdot \frac{1}{2}$ (vgl. Beispiel 3.)

Die Summe der $a_i$ mit geradem Indes ergibt

     $-\frac{1}{2^0}-\frac{1}{2^1}-\frac{1}{2^2}-\cdots -\frac{1}{2^{2^m}}=-\left(\right.\left(\right.\frac{1}{2}{\left)\right.}^0+\left(\right.\frac{1}{2}{\left)\right.}^1+\cdots +\left(\right.\frac{1}{2}{\left)\right.}^{2^m}\left)\right.=$

     $-\frac{1-\left(\right.\frac{1}{2}{\left)\right.}^{2m+1}}{1-\frac{1}{2}}=-2\left(\right.1-\left(\right.\frac{1}{2}{\left)\right.}^{2m+1}\left)\right.\ge -2$ (vgl. geometrische Reihe)

(denn für $i=2^{m+1}=2n$ ist $n=2^m$, also $\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2^{2^m}}$).

Damit erhalten wir insgesamt

     $S_{2^{m+1}}=\underset{\ge 1+\frac{m}{2}}{\underbrace{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{2^m}}}-\left(\right.\underset{\le 2}{\underbrace{1+\left(\right.\frac{1}{2}{\left)\right.}^1+\left(\right.\frac{1}{2}{\left)\right.}^2+\cdots +\left(\right.\frac{1}{2}{\left)\right.}^{2^m}}}\left)\right.$

       $\ge 1+\frac{m}{2}-2\ge \frac{m}{2}-1\underset{m\to \infty }{\to }\infty .$

Folglich ist $\left(S_{2^n}\right)$ eine unbeschränkte Teilfolge von $\left(S_n\right)$ und somit $\sum a_i$ nicht konvergent.