$$ Bemerkung. Für die Anwendung des Wurzelkriteriums genügt es, daß $\sqrt[i]{\left|a_i\right|}\le q<1$ für fast alle $i$. (Offenbar folgt aus $\sqrt[i]{\left|a_i\right|}\le q<1$ sofort $\overline{lim}\sqrt[i]{\left|a_i\right|}<1$.) Ist andererseits $\left(a_i\right)$ beschränkt und $\overline{lim}\sqrt[i]{\left|a_i\right|}:=c<1,$ so ist $\sqrt[i]{\left|a_i\right|}\le \underset{:=q<1}{\underbrace{c+\frac{1-c}{2}}}$ für fast alle $i;$ folglich ist $\sum a_i$ absolut konvergent.

Ist also $\overline{lim}\sqrt[i]{\left|a_i\right|}<1,$ so ist $\sum a_i$ absolut konvergent. Analog erhält man: Wenn $\sqrt[i]{\left|a_i\right|}>1$ für fast alle $i$, so ist $\sum a_i$ divergent. Achtung: Für die Konvergenz von $\sum a_i$ reicht es noch nicht, daß stets $\sqrt[i]{\left|a_i\right|}<1$ (bzw. $\overline{lim}\sqrt[i]{\left|a_i\right|}=1$) ist; z.B. für $a_i=\frac{1}{i}$ ist $\sqrt[i]{\frac{1}{i}}<1$, denn $\frac{1}{i}<1$ (bzw. $\overline{lim}\frac{1}{i}=1).$ Aber $\sum \frac{1}{i}$ ist nicht konvergent. Wenn $lim\sqrt[i]{\left|a_i\right|}$ existiert, dann ist offenbar $\overline{lim}\sqrt[i]{\left|a_i\right|}=lim\sqrt[i]{\left|a_i\right|},$ und man rechnet nur mit dem Limes.