$$ Beispiele. 1. Sei ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{a^n}{n^n},a\ne 0,$ also $a_n=\left(\right.\frac{a}{n}{\left)\right.}^n.$ Hier bietet sich das Wurzelkriterium an. Es ist

     $\sqrt[n]{|a_n{|}^n}=\sqrt[n]{\left|\right.\frac{a}{n}{\left|\right.}^n}=\left|\right.\frac{a}{n}\left|\right.\le q<1$

für fast alle $n;$ z.B. $q=\frac{1}{2}$ leistet das Verlangte.

Benutzt man für dasselbe Beispiel das Quotientenkriterium, dann wird die Berechnung komplizierter. Es ist (vgl. auch Beispiel 3/1/35)

     $\left|\frac{\frac{a^{n+1}}{{\left(n+1\right)}^{n+1}}}{\frac{a^n}{n^n}}\right|=\left|\frac{a^{n+1}}{a^n}\right|\cdot \left(\right.\frac{n}{n+1}{\left)\right.}^n\cdot \frac{1}{n+1}=\left|a\right|\cdot \frac{1}{\left(\right.1+\frac{1}{n}{\left)\right.}^n}\cdot \frac{1}{n+1}:=\left(\star \right).$

Wir wissen schon, daß $\left(\right.1+\frac{1}{n}{\left)\right.}^n\ge 2,$ also $\frac{1}{\left(\right.1+\frac{1}{n}{\left)\right.}^n}\le \frac{1}{2},$ folglich ist

$\left(\star \right)\le \left|a\right|\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n+1}\le q<1$ für fast alle $n$ (z.B. für $q=\frac{1}{2}).$