3. Wir betrachten jetzt die Reihe ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{a^n}{n}$ und zeigen, daß diese Reihe für gewisse Werte $a\in IR$ konvergiert und für andere Werte divergiert. Es sei zunächst $\left|a\right|<1,a\ne 0.$ Wir benutzen das Quotientenkriterium. Für $q=\left|a\right|$ und für fast alle $n$ gilt

     $\left|\frac{\frac{a^{n+1}}{n+1}}{\frac{a^n}{n}}\right|=\left|a\right|\cdot \frac{n}{n+1}\le q<1.$

Ist $\left|a\right|=1$, so erhält man für $a=1$ die harmonische Reihe (diese ist divergent) und für $a=-1$ eine konvergente alternierende Reihe. Es sei nun $\left|a\right|>1.$ Dann ist $\left(\right.\frac{a^n}{n}\left)\right.$ keine Nullfolge, und somit $\sum \frac{a^n}{n}$ nicht konvergent.