4. Wir betrachten ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}.$ Die Konvergenz dieser Reihe kann man weder mit dem Wurzel- noch mit dem Quotientenkriterium nachweisen (bitte ausprobieren!). Für eine geeignete konvergente Majorante könnte man das Majorantenkriterium heranziehen.

Es ist $\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}\le \frac{1}{n\left(n+1\right)},$ und die Reihe ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\left(n+1\right)}$ ist konvergent. Denn

     $\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\Rightarrow$

     $S_k={\sum }_{n=1}^k\frac{1}{n\left(n+1\right)}={\sum }_{n=1}^k\left(\right.\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\left)\right.=1-\frac{1}{k+1}.$

Folglich ist $S_k\to 1$, und somit ist ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\left(n+1\right)}$ eine konvergente Majorante von

     ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}.$ Aus ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=1+{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{\left(n+1\right)}^n}$ erhält man die Behauptung.