5. Wir betrachten jetzt ein Beispiel für eine Reihe, bei der das Quotientenkriterium versagt (das Wurzelkriterium ließe sich anwenden). Es sei

     ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n=\frac{1}{2}+1+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{32}+\frac{1}{16}+\cdots =$

         $\left(\right.\frac{1}{2}{\left)\right.}^1+\left(\right.\frac{1}{2}{\left)\right.}^0+\left(\right.\frac{1}{2}{\left)\right.}^3+\left(\right.\frac{1}{2}{\left)\right.}^2+\left(\right.\frac{1}{2}{\left)\right.}^5+\left(\right.\frac{1}{2}{\left)\right.}^4+\cdots .$

Folglich ist $a_n=\{\begin{array}{l}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}\text{, falls }n\text{ gerade ist}\text{,}\hfill \\ {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\text{, sonst}\text{.}\hfill \end{array}$

Dann gilt für alle geraden $n:$ $a_n=\left(\right.\frac{1}{2}{\left)\right.}^{n+1},a_{n+1}=\left(\right.\frac{1}{2}{\left)\right.}^n$ und folglich $\left|\right.\frac{a_{n+1}}{a_n}\left|\right.=2.$

Die Reihe ist aber konvergent, denn es ist $S_k=\left(\right.\frac{1}{2}{\left)\right.}^1+\left(\right.\frac{1}{2}{\left)\right.}^0+\cdots +\left(\right.\frac{1}{2}{\left)\right.}^{k+1}+\left(\right.\frac{1}{2}{\left)\right.}^k$ für gerade $k$ und damit $S_k=\frac{1-\left(\right.\frac{1}{2}{\left)\right.}^{k+2}}{1-\frac{1}{2}}\le 2.$

Für beliebige $k$ ist $\left(S_k\right)$ monoton wachsend und beschränkt, also auch konvergent.