Satz 4.14 $($ Multiplikation unendlicher Reihen $)$ Vorausseztungen $:$

$(1)$

Es seien

\sum_{m = 0}^{\infty} a_{m}, \sum_{n = 0}^{\infty} b_{n}

absolut konvergent und

\sum a_{m} = a, \sum b_{n} = b .

(2)

f

sei eine Bijektion zwischen

I N

und

I N \times I N

. (Die Existenz einer solchen Bijektion weist man mit dem 1. Cantorschen Diagonalverfahren nach).

(3)

Für jedes

i \in I N

sei

f (i) = (m_{i}, n_{i})

und

c_{i} = a_{m_{i}} b_{n_{i}}

Behauptung

:

$\sum_{i = 0}^{\infty} c_{i}$ ist absolut konvergent, und es ist $\sum_{i = 0}^{\infty} c_{i} = (\sum_{m = 0}^{\infty} a_{m}) \cdot (\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n}) = a \cdot b .$