Satz 4.14 $($ Multiplikation unendlicher Reihen $)$ Vorausseztungen $:$

$(1)$

Es seien

$\sum_{m = 0}^{\infty} a_{m}, \sum_{n = 0}^{\infty} b_{n}$ absolut konvergent und

$\sum a_{m} = a, \sum b_{n} = b .$

$(2)$

$f$ sei eine Bijektion zwischen

$I N$ und

$I N \times I N$ . (Die Existenz einer solchen Bijektion weist man mit dem 1. Cantorschen Diagonalverfahren nach).

$(3)$

Für jedes

$i \in I N$ sei

$f (i) = (m_{i}, n_{i})$ und

$c_{i} = a_{m_{i}} b_{n_{i}}$ .

Behauptung

$:$

$\sum_{i = 0}^{\infty} c_{i}$ ist absolut konvergent, und es ist $\sum_{i = 0}^{\infty} c_{i} = (\sum_{m = 0}^{\infty} a_{m}) \cdot (\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n}) = a \cdot b .$