Beweis. Wir zeigen zunächst, daß $\sum c_{i}$ absolut konvergiert. g.z.z.: Die Folge der Partialsummen von $\sum | c_{i} |$ ist nach oben beschränkt.

Nach Voraussetzung existiert für jedes $i \in I N$ genau ein Paar $(m_{i}, n_{i}) \in I N \times I N,$ so daß $f (i) = (m_{i}, n_{i}),$ also $c_{i} = a_{m_{i}} b_{n_{i}} .$ Wir bilden

$S_{k} : = \sum_{i = 0}^{k} | c_{i} | = \sum_{i = 0}^{k} | a_{m_{i}} b_{n_{i}} | : = (⋆) .$

Sei $l = max {m_{0}, \dots, m_{k}, n_{0}, \dots, n_{k}}$ . Die Summanden aus $(⋆)$ kommen unter den Summanden aus $| a_{0} b_{0} | + \dots + | a_{i} b_{j} | + \dots + | a_{l} b_{l} |$ vor, wobei $i, j \leq l .$ Dann ist

$S_{k} = (⋆) \leq | a_{0} b_{0} | + \dots + | a_{i} b_{j} | + \dots + | a_{l} b_{l} |$

$= (\underset{: = S_{l}^{'}}{\underset{︸}{| a_{0} | + \dots + | a_{l} |}}) \cdot (\underset{: = S_{l}^{″}}{\underset{︸}{| b_{0} | + \dots + | b_{l} |}}) = S_{l}^{'} \cdot S_{l}^{″} .$

Da $\sum | a_{i} |, \sum | b_{i} |$ nach Voraussetzung konvergieren, sind $(S_{n}^{'}), (S_{n}^{″})$ beschränkt. Folglich ist $(S_{n}^{'} \cdot S_{n}^{″})$ beschränkt und somit ist auch $(S_{k})$ beschränkt. Hieraus ergibt sich die Konvergenz von $\sum | c_{i} |$ und damit die absolute Konvergenz von $\sum c_{i} .$

Behauptung: $\sum c_{i} = a \cdot b .$

Da $\sum c_{i}$ absolut konvergiert, ist jede Umordnung von $\sum c_{i}$ ebenfalls konvergent und zwar gegen den gleichen Wert. Wir betrachten eine spezielle Umordnung und Zusammenfassung bestimmter Summanden:

$\sum_{i = 0}^{\infty} c_{i} = \sum_{i = 0}^{\infty} a_{m_{i}} b_{n_{i}} = \underset{: = c_{0}^{'}}{\underset{︸}{a_{0} b_{0}}} + (\underset{: = c_{1}^{'}}{\underset{︸}{a_{0} b_{1} + a_{1} b_{1} + a_{1} b_{0}}}) + \dots +$

$(\underset{: = c_{i}^{'}}{\underset{︸}{a_{0} b_{i} + a_{1} b_{i} + \dots + a_{i} b_{i} + a_{i} b_{i - 1} + \dots + a_{i} b_{0}}}) + \dots$

$= \sum_{i = 0}^{\infty} c_{i}^{'} .$

Es seien

$S_{n}^{*} = \sum_{i = 0}^{n} c_{i}^{'}, S_{n}^{* *} = \sum_{i = 0}^{n} a_{i}$ und $S_{n}^{* * *} = \sum_{i = 0}^{n} b_{i} .$

Dann gilt für die oben angegebene Umordnung: $S_{n}^{*} = S_{n}^{* *} \cdot S_{n}^{* * *} .$ Wegen $S_{n}^{* *} \to a, S_{n}^{* * *} \to b$ gilt $S_{n}^{*} = S_{n}^{* *} \cdot S_{n}^{* * *} \to a \cdot b,$ also

$\sum c_{i} = a \cdot b = (\sum a_{m}) \cdot (\sum b_{n}) .$ <mi
>P</mi><mi
>I</mi><mi
>C</mi><mi
>T</mi>