Beispiel. Das Cauchyprodukt von absolut konvergenten Reihen ist wieder absolut konvergent. Es sei $\left|a\right|<1.$ Dann ist ${\sum }_{i=0}^{\infty }{a}^i$ absolut konvergent und $\sum a^i=\frac{1}{1-a}.$ Folglich ist

     ${\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n=\left(\right.\underset{=\frac{1}{1-a}}{\underbrace{{\sum }_{i=0}^{\infty }{a}^i}}\left)\right.\cdot \left(\right.\underset{=\frac{1}{1-a}}{\underbrace{{\sum }_{j=0}^{\infty }{a}^j}}\left)\right.=\frac{1}{{\left(1-a\right)}^2}$

        $={\sum }_{n=0}^{\infty }\left(\right.{\sum }_{i+j=n}^{}\underset{a^n}{\underbrace{a^i{a}^j}}\left)\right.$

        $={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}^n\cdot \left(\right.\underset{=n+1}{\underbrace{{\sum }_{i+j=n}^{}1}}\left)\right.={\sum }_{n=0}^{\infty }\left(n+1\right)\cdot a^n.$

Also

     ${\sum }_{n=0}^{\infty }\left(n+1\right)\cdot a^n=\frac{1}{{\left(1-a\right)}^2}.$

Offenbar ist $|n\cdot a^n|\le |\left(n+1\right)\cdot a^n|.$ Folglich ist $\sum \left(n+1\right)|a{|}^n$ eine konvergente Majorante von $\sum n\left|a^n\right|.$ Dann ist $\sum n\cdot a^n$ absolut konvergent, und damit gilt

     $\underset{=\frac{1}{{\left(1-a\right)}^2}}{\underbrace{{\sum }_{n=0}^{\infty }\left(n+1\right)\cdot a^n}}-\underset{=\frac{1}{1-a}}{\underbrace{{\sum }_{n=0}^{\infty }{a}^n}}={\sum }_{n=0}^{\infty }n\cdot a^n.$

Folglich ist

     ${\sum }_{n=0}^{\infty }n\cdot a^n=\frac{1}{{\left(1-a\right)}^2}-\frac{1}{1-a}=\frac{1-\left(1-a\right)}{{\left(1-a\right)}^2}=\frac{a}{{\left(1-a\right)}^2}.$

Auf diese Weise erhält man neue Beispiele für absolut konvergente Reihen.