Wir befassen uns jetzt noch kurz mit sogenannten Doppelreihen. Dazu sei

     $\left(a_{mn}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{00}& a_{01}& a_{02}& \dots \\ a_{10}& a_{11}& a_{12}& \dots \\ a_{20}& a_{21}& a_{22}& \dots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$

eine „unendliche Matrix“. Eine Matrix dieser Art nennen wir auch Doppelfolge. Die Doppelfolge $\left(a_{mn}\right)$konvergiert gegen $a$, wenn für jedes $\epsilon >0$ ein $n_0$ existiert, so daß für alle $m,n\ge n_0$ gilt: $|a_{mn}-a|<\epsilon$.    Bez.: $\underset{m,n\to \infty }{lim}{a}_{mn}=a$

Es sei jetzt

  $S_{mn}:={\sum }_{i=0}^m{\sum }_{j=0}^n{a}_{ij}=\left(a_{00}+\cdots +a_{0n}\right)+\left(a_{10}+\cdots +a_{1n}\right)+\cdots +\left(a_{m0}+\cdots +a_{mn}\right)$.

Dann heißt (analog wie bei der Definition von Reihen) die Doppelfolge $\left(S_{mn}\right)$ auch Doppelreihe.      Bez.: $\left(S_{mn}\right):={\sum }_{i,j=0}^{\infty }{a}_{ij}$

Die Doppelreihe konvergiert gegen $a$, wenn $\left(S_{mn}\right)$ gegen $a$ konvergiert.      Bez.: $\underset{m,n\to \infty }{lim}{S}_{mn}={\sum }_{i,j=0}^{\infty }{a}_{ij}=a$

Es erhebt sich nun die Frage, ob man den Limes $\underset{m,n\to \infty }{lim}{S}_{mn}$ (falls er existiert) auch so berechnen kann, indem man zunächst die Zeilensummen $b_i:={\sum }_{j=0}^{\infty }{a}_{ij}$ bildet und anschließend die unendliche Summe der $b_i$ betrachtet (falls diese Reihen konvergieren; eine entsprechende Frage könnte auch für die Spaltensummen gestellt werden). Unter gewissen Voraussetzungen kann der Limes tatsächlich so bestimmt werden. Aufschluß darüber gibt der folgende Satz.