Satz 4.15 $($ Großer Umordnungssatz $)$ Es sei $\sum_{i, j = 0}^{\infty} a_{i j}$ eine Doppelreihe, $φ : I N \to I N \times I N$ eine Bijektion, und für $φ (ν) = (i, j)$ sei $b_{ν} : = a_{i j}$ . Weiterhin sei $\sum_{ν = 0}^{\infty} b_{ν}$ absolut konvergent und $\sum b_{ν} = b$ . Dann gilt $:$

$(1)$ Jede Zeilenreihe $\sum_{j = 0}^{\infty} a_{i j} : = Z_{i}$ konvergiert absolut.

$(2)$ Jede Spaltenreihe $\sum_{i = 0}^{\infty} a_{i j} : = S_{j}$ konvergiert absolut.

$(3)$

Die Reihen

\sum_{i = 0}^{\infty} Z_{i}

und

\sum_{j = 0}^{\infty} S_{j}

konvergieren absolut, und es ist

\sum_{i = 0}^{\infty} Z_{i} = \sum_{i = 0}^{\infty} (\sum_{j = 0}^{\infty} a_{i j}) = \sum_{j = 0}^{\infty} (\sum_{i = 0}^{\infty} a_{i j}) = \sum_{j = 0}^{\infty} S_{j} = b