Beweis. Sei $\left|b_{\nu }\right|={\beta }_{\nu }$. Nach Voraussetzung konvergiert $\sum {\beta }_{\nu }$; es sei ${\sum }_{\nu =0}^{\infty }{\beta }_{\nu }=\beta$. Wegen ${\beta }_{\nu }\ge 0$ ist die Summe je endlich vieler ${\beta }_{{\nu }_1},\dots ,{\beta }_{{\nu }_k}$ stets $\le \beta$. Damit erhält man

(1). ${\sum }_{j=0}^n\underset{={\beta }_{\nu }}{\underbrace{\left|a_{ij}\right|}}\le \beta$ für alle $n$. Folglich ist $Z_i={\sum }_{j=0}^{\infty }{a}_{ij}$ absolut konvergent.

(2). Weiterhin ist ${\sum }_{i=0}^m\left|a_{ij}\right|\le \beta$ für alle $m$. Damit ist auch $S_j={\sum }_{i=0}^{\infty }{a}_{ij}$ absolut konvergent.

(3). Es ist auch ${\sum }_{i=0}^m{\sum }_{j=0}^n\left|a_{ij}\right|\le \beta$ für alle $m,n$. Nach Behauptung (1) existiert $\underset{n\to \infty }{lim}{\sum }_{j=0}^n\left|a_{ij}\right|:={\alpha }_i$. Folglich ist

     $\underset{n\to \infty }{lim}\underset{\le \beta }{\underbrace{{\sum }_{i=0}^m{\sum }_{j=0}^n\left|a_{ij}\right|}}={\sum }_{i=0}^m\underset{n\to \infty }{lim}{\sum }_{j=0}^n\left|a_{ij}\right|={\sum }_{i=0}^m\le \beta$.

Weiterhin ist

     $\left|Z_i\right|=\left|\right.{\sum }_{j=0}^{\infty }{a}_{ij}\left|\right.=\underset{n\to \infty }{lim}\left|\right.{\sum }_{j=0}^n{a}_{ij}\left|\right.\le \underset{n\to \infty }{lim}{\sum }_{j=0}^n\left|a_{ij}\right|={\alpha }_i$.

Also gilt stets

     ${\sum }_{i=0}^m\left|Z_i\right|\le {\sum }_{i=0}^m{\alpha }_i\le \beta$.

Folglich ist $\sum Z_i$ absolut konvergent.

Analog zeigt man die absolute Konvergenz von $\sum S_j$.

Es sei nun $\epsilon >0$. Dann existieren nach Voraussetzung bzw. nach den obigen Ausführungen natürliche Zahlen $n_1,n_2$, so daß für alle $n\ge n_1$ und alle $k\ge 0$ gilt:

     $|b_1+\cdots +b_n-b|<\frac{\epsilon }{2}$ und

     ${\beta }_{n_2+1}+\cdots +{\beta }_{n_2+k}<\frac{\epsilon }{2}$. $\left(\star \right)$

Sei $n_0=max\left\{n_1,n_2\right\}$. In der Aufzählung $\phi \left(0\right),\phi \left(1\right),\dots ,\phi \left(n_0\right)$ kommen nur endlich viele Paare $\left(i,j\right)\in IN\times IN$ vor. Folglich existiert ein $m_0$, so daß $\phi \left(0\right),\dots ,\phi \left(n_0\right)$ schon in der Menge $\left\{\left(i,j\right):i\le m_0,j\le m_0\right\}$ auftreten.

Wählt man $m,n\ge m_0$, dann ist

     $\left|\right.{\sum }_{i=0}^m{\sum }_{j=0}^n{a}_{ij}-b\left|\right.=|b_1+\cdots +b_{n_0}-b+r|$,

wobei $r$ eine endliche Summe ist, die aus gewissen Gliedern $a_{ij}:=b_{\nu }$ besteht, deren Indizes $\nu$ größer als $n_0$ sind.

Wegen $\left(\star \right)$ folgt mit Hilfe der Dreiecksungleichung $\left|r\right|<\frac{\epsilon }{2}$. Also erhält man für alle $m,n\ge n_0$:

     $\left|\right.{\sum }_{i=0}^m{\sum }_{j=0}^n{a}_{ij}-b\left|\right.\le |b_1+\cdots +b_{n_0}-b|+\left|r\right|<\epsilon$. $\left(\star \star \right)$

Für $n\to \infty$ in $\left(\star \star \right)$ erhält man

     $\left|\right.{\sum }_{i=0}^m{\sum }_{j=0}^{\infty }{a}_{ij}-b\left|\right.=\left|\right.{\sum }_{i=0}^m{Z}_i-b\left|\right.\le \epsilon$.

(Die Konvergenz der inneren Reihe ist schon nachgewiesen.)

Für $m\to \infty$ entsteht

     $\left|\right.{\sum }_{i=0}^{\infty }{Z}_i-b\left|\right.\le \epsilon \Rightarrow {\sum }_{i=0}^{\infty }{Z}_i=b$.

Wegen ${\sum }_{i=0}^m{\sum }_{j=0}^n{a}_{ij}={\sum }_{i=0}^m{\sum }_{j=0}^n{a}_{ij}$ erhält man aus $\left(\star \star \right)$ analog

     $\left|\right.{\sum }_{j=0}^{\infty }{S}_j-b\left|\right.\le \epsilon \Rightarrow {\sum }_{j=0}^{\infty }{S}_j=b$.   $$