Beispiele.

1. Es sei $a_n=\frac{1}{n!},a=0,$ also ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{\left(x-a\right)}^n={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}.$

Diese Reihe konvergiert (nach dem Quotientenkriterium) für alle reellen oder komplexen $x.$