Beweis. (1). Ist $x_{0} = a,$ dann existiert kein $x$ mit $| x - a | < | x_{0} - a | .$ Damit ist die Behauptung trivialerweise erfüllt. Es sei jetzt $x_{0} \neq a$ . Nach Voraussetzung ist die Reihe in $x_{0}$ konvergent. Folglich ist $(a_{n} {(x_{0} - a)}^{n})$ eine Nullfolge, und somit ist $| a_{n} {(x_{0} - a)}^{n} | \leq 1$ für fast alle $n .$ Sei $x$ jetzt beliebig aber fixiert mit der Eigenschaft $| x - a | < | x_{0} - a |$ . Dann gilt

$0 \leq \frac{| x - a |}{| x_{0} - a |} : = q < 1 .$

Hieraus konstruieren wir eine konvergente Majorante für $\sum_{}^{} | a_{n} {(x - a)}^{n} | .$ Es ist

$| a_{n} {(x - a)}^{n} | = | a_{n} \cdot \frac{{(x - a)}^{n}}{{(x_{0} - a)}^{n}} \cdot {(x_{0} - a)}^{n} | =$

$\underset{\leq 1}{\underset{︸}{| a_{n} {(x_{0} - a)}^{n} |}} \cdot \underset{= q^{n}}{\underset{︸}{|\frac{{(x - a)}^{n}}{{(x_{0} - a)}^{n}}|}} \leq q^{n}$ und $0 \leq q < 1 .$

$\sum q^{n}$ ist als geometrische Reihe für $| q | < 1$ konvergent, folglich ist $\sum q^{n}$ eine konvergente Majorante von $\sum | a_{n} {(x - a)}^{n} | .$ Daher ist $\sum a_{n} {(x - a)}^{n}$ absolut konvergent für $x .$

(2). Sei $| x - a | > | x_{1} - a |$ und $\sum a_{n} {(x_{1} - a)}^{n}$ divergent. Wäre $\sum a_{n} {(x - a)}^{n}$ konvergent, dann wäre $\sum a_{n} {(x_{1} - a)}^{n}$ nach (1) absolut konvergent. PICT ! <mi
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