Beweis. Sei $\sum a_{n} {(x - a)}^{n}$ eine beliebige Potenzreihe. 1. Fall: Die Reihe konvergiert nur für $x = a .$ Dann ist $ρ = 0 .$ 2. Fall: Die Reihe konvergiert für alle $x \in l C .$ Dann konvergiert die Reihe absolut für alle $x$ (nach Satz 4.19). Folglich ist $ρ = \infty .$ 3. Fall: $\sum a_{n} {(x - a)}^{n}$ konvergiert für ein $x_{0} \neq a$ und divergiert für ein $x_{1}$ (vgl. Abb. 4.2).

Es sei

$M = {r \in I R :$ es gibt ein $x \in l C,$ so daß $| x - a | = r$ und $\sum a_{n} {(x - a)}^{n}$ konvergiert $} .$

Dann ist $M \neq \emptyset,$ denn $0 \in M .$ Es sei $r_{1} = | x_{1} - a | .$ Nach Voraussetzung ist $\sum a_{n} {(x_{1} - a)}^{n}$ divergent. Folglich gilt (nach Satz 4.19(2)): Wenn $r^{'} > r_{1},$ so ist $r^{'} \notin M .$ Dann ist $M$ nach oben beschränkt (z.B. durch $r_{1}$ ), besitzt also ein Supremum; es sei $ρ : = sup M .$

Behauptung: $ρ$ ist der Konvergenzradius von $\sum a_{n} {(x - a)}^{n} .$

z.z.:

1. Wenn

| x - a | < ρ,

so ist

\sum a_{n} {(x - a)}^{n}

absolut konvergent. 2. Wenn

| x - a | > ρ,

so ist

\sum a_{n} {(x - a)}^{n}

divergent.

Zu 1. Sei $| x - a | < ρ .$ Dann existiert (nach Definition des Supremums) ein $r^{'} \in I R,$ so daß $| x - a | < r^{'} \leq ρ$ und $r^{'} \in M .$ Nach Definition von $M$ existiert ein $x^{'} \in l C,$ so daß $| x^{'} - a | = r^{'}$ und $\sum a_{n} {(x^{'} - a)}^{n}$ konvergiert. Wegen $| x - a | < r^{'} = | x^{'} - a |$ ist dann (nach Satz 4.19(1)) $\sum a_{n} {(x - a)}^{n}$ absolut konvergent.

Zu 2. Sei $| x - a | > ρ .$ Wäre $\sum a_{n} {(x - a)}^{n}$ konvergent, so wäre $r = | x - a | \in M$ und $r > ρ,$ folglich wäre $ρ$ nicht $sup M .$ PICT ! <mi
>P</mi><mi
>I</mi><mi
>C</mi><mi
>T</mi>