Satz 4.23 $($ Produkt von Potenzreihen $)$ Es seien $\sum a_{n} {(x - a)}^{n}$ und $\sum b_{n} {(x - a)}^{n}$ Potenzreihen mit den Konvergenzradien $ρ_{1}$ bzw. $ρ_{2},$ und es sei $c_{n} = \sum_{i + j = n}^{} a_{i} b_{j} (= \sum_{ν = 0}^{n} a_{ν} b_{n - ν}) .$ Dann gilt $:$

$(1)$

Die Potenzreihe

\sum c_{n} {(x - a)}^{n}

hat einen Konvergenzradius

ρ \geq min {ρ_{1}, ρ_{2}} .

(2)

Für

| x - a | < min {ρ_{1}, ρ_{2}}

ist

(\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x - a)}^{n}) \cdot (\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} {(x - a)}^{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n} .