Satz 4.24 $($ Umordnen von Potenzreihen $)$ Voraussetzungen $:$

$(1)$ Es sei $\sum a_{n} {(x - a)}^{n}$ eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius $ρ > 0 .$

$(2)$ Weiterhin sei $b \neq a, | b - a | < ρ$ und $ρ - | b - a | = ρ^{'} (> 0) .$

Behauptung $:$

Es gibt eine Potenzreihe $\sum b_{n} {(x - b)}^{n}$ mit einem Konvergenzradius $\geq ρ^{'},$ so daß für jedes $x$ mit $| x - b | < ρ^{'}$ gilt $:$

$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x - a)}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} {(x - b)}^{n},$ wobei $b_{n} = \sum_{m = n}^{\infty} a_{m} (\binom{m}{n}) {(b - a)}^{m - n} .$

(Bez.: $\sum b_{n} {(x - b)}^{n}$ entsteht aus $\sum a_{n} {(x - a)}^{n}$ durch Umordnung nach Potenzen von $(x - b)$ .)