Beweis. Zum Beweis benutzen wir das Korollar zum Großen Umordnungssatz.

Für alle $x$ mit $| x - a | < ρ$ gilt stets

$a_{n} {(x - a)}^{n} = a_{n} ((x - b) + (b - a))^{n}$

$= \sum_{m = 0}^{n} \underset{: = a_{n m}}{\underset{︸}{a_{n} (\binom{n}{m}) {(x - b)}^{m} {(b - a)}^{n - m}}}$

$= \sum_{m = 0}^{n} a_{n m} = \sum_{m = 0}^{\infty} a_{n m} .$ (wegen $(\binom{n}{m}) = 0$ für $m > n$ )

Folglich ist

$\sum_{m = 0}^{\infty} | a_{n m} | = \sum_{m = 0}^{n} | a_{n m} | = | a_{n} | \cdot \sum_{m = 0}^{n} (\binom{n}{m}) | x - b |^{m} | b - a |^{n - m}$

$= | a_{n} | \cdot (| x - b | + | b - a |)^{n} : = α_{n}$ .

Da Potenzreihen innerhalb ihres Konvergenzgebietes absolut konvergieren und nach Voraussetzung stets $| x - b | + | b - a | < ρ$ ist, konvergiert $\sum α_{n}$ absolut. Damit sind die Voraussetzungen für das Korollar erfüllt. Folglich gilt:

$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x - a)}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} ((x - b) + (b - a))^{n}$

$= \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{m = 0}^{n} a_{n} (\binom{n}{m}) {(x - b)}^{m} {(b - a)}^{n - m}$

$= \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{m = 0}^{\infty} a_{n} (\binom{n}{m}) {(x - b)}^{m} {(b - a)}^{n - m}$

$= \sum_{m = 0}^{\infty} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (\binom{n}{m}) {(x - b)}^{m} {(b - a)}^{n - m}$ (nach dem Korollar)

$= \sum_{m = 0}^{\infty} (\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (\binom{n}{m}) {(b - a)}^{n - m}) {(x - b)}^{m}$

$= \sum_{m = 0}^{\infty} (\sum_{n = m}^{\infty} \underset{= c_{n}}{\underset{︸}{a_{n} (\binom{n}{m}) {(b - a)}^{n - m}}}) {(x - b)}^{m}$ ; ( $(\binom{n}{m}) = 0$ für $n < m$ )

$= \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - b)}^{n}$ . <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi
>C</mi><mi >T</mi>

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